如何用Python输出n以内的质数

如何用Python输出n以内的质数

在Python中输出n以内的质数，可以使用多种方法。常见的方法有：埃拉托斯特尼筛法、简单遍历法、优化的遍历法等。这里详细介绍使用埃拉托斯特尼筛法来找到n以内的质数。埃拉托斯特尼筛法是一种高效的算法，通过迭代从2开始的所有整数，并逐步标记出这些数的倍数，最终未被标记的数即为质数。使用埃拉托斯特尼筛法可以显著提高计算效率，尤其在处理大范围的质数时。

一、埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一种经典的算法，用于求解一定范围内的所有质数。它的基本思想是：从2开始，依次将每个数的倍数标记为非质数。这样，剩下未被标记的数即为质数。以下是埃拉托斯特尼筛法的详细实现步骤。

1、算法步骤

创建一个布尔数组，大小为n+1，初始全部为True，表示所有数都是质数。
从2开始，对每个数，如果它是质数，则将它的倍数全部标记为非质数。
遍历数组，将所有仍为True的数输出。

2、代码实现

def sieve_of_eratosthenes(n):
    primes = [True] * (n + 1)
    p = 2
    while (p * p <= n):
        if primes[p] == True:
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                primes[i] = False
        p += 1
    prime_numbers = []
    for p in range(2, n + 1):
        if primes[p]:
            prime_numbers.append(p)
    return prime_numbers
n = int(input("Enter the upper limit: "))
print(f"Prime numbers up to {n} are: {sieve_of_eratosthenes(n)}")

二、简单遍历法

简单遍历法是最直观的方法，通过遍历从2到n的所有数，并检查每个数是否是质数。虽然这种方法简单易懂，但在处理大范围的质数时，效率较低。

1、算法步骤

遍历从2到n的所有数。
对于每个数，检查它是否能被2到它的平方根之间的所有数整除。
如果不能被整除，则为质数。

2、代码实现

def is_prime(num):
    if num <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(num0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True
def simple_prime(n):
    prime_numbers = []
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime(i):
            prime_numbers.append(i)
    return prime_numbers
n = int(input("Enter the upper limit: "))
print(f"Prime numbers up to {n} are: {simple_prime(n)}")

三、优化的遍历法

优化的遍历法是在简单遍历法的基础上进行优化，进一步提高效率。通过一些技巧，如跳过偶数和使用更高效的数据结构，可以显著减少计算时间。

1、算法步骤

遍历从2到n的所有数。
跳过偶数，只检查奇数。
对于每个数，检查它是否能被2到它的平方根之间的所有数整除。
如果不能被整除，则为质数。

2、代码实现

def is_prime_optimized(num):
    if num <= 1:
        return False
    if num == 2:
        return True
    if num % 2 == 0:
        return False
    for i in range(3, int(num0.5) + 1, 2):
        if num % i == 0:
            return False
    return True
def optimized_prime(n):
    prime_numbers = []
    if n >= 2:
        prime_numbers.append(2)
    for i in range(3, n + 1, 2):
        if is_prime_optimized(i):
            prime_numbers.append(i)
    return prime_numbers
n = int(input("Enter the upper limit: "))
print(f"Prime numbers up to {n} are: {optimized_prime(n)}")