python如何做最少硬币找零

Python做最少硬币找零的方法包括：贪心算法、动态规划、递归。 在这些方法中，动态规划是最常用且最有效的方法之一。动态规划方法通过构建一个表格来存储中间结果，从而避免重复计算，提高了算法的效率。接下来，我们将详细介绍如何使用动态规划方法来解决最少硬币找零问题。

一、动态规划方法

动态规划是一种解决问题的最优化方法，通过将问题分解为更小的子问题，并利用这些子问题的最优解来构建原问题的最优解。对于找零问题，我们的目标是找到使用最少数量的硬币来构成目标金额。

1、定义状态和初始化

首先，我们需要定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示构成金额 i 所需的最少硬币数量。我们将 dp[0] 初始化为 0，因为构成金额 0 不需要任何硬币。对于其他金额，我们将其初始化为一个较大的值，例如 float('inf')，表示暂时无法构成该金额。

def coinChange(coins, amount):
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0

2、状态转移方程

接下来，我们需要构建状态转移方程。对于每一个金额 i，我们尝试使用每一种硬币 coin，并更新 dp[i] 的值。如果使用 coin 后的金额 i-coin 可以构成，那么 dp[i] 的值可以更新为 dp[i-coin] + 1。

    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if i - coin >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

3、返回结果

最后，根据 dp[amount] 的值判断是否可以构成目标金额。如果 dp[amount] 仍然是 float('inf')，表示无法构成该金额，返回 -1。否则，返回 dp[amount]。

    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

4、完整代码

以下是完整的动态规划方法代码：

def coinChange(coins, amount):
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if i - coin >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

二、贪心算法

贪心算法是另一种解决最少硬币找零问题的方法。它的基本思想是每次选择面值最大的硬币，直到构成目标金额。然而，贪心算法并不总是最优的，特别是在某些特定的硬币组合下。尽管如此，它在某些情况下仍然是一个有效的方法。

1、排序硬币

首先，将硬币按照面值从大到小排序。

def coinChangeGreedy(coins, amount):
    coins.sort(reverse=True)

2、选择硬币

然后，从面值最大的硬币开始，选择尽可能多的硬币，直到构成目标金额。

    count = 0
    for coin in coins:
        while amount >= coin:
            amount -= coin
            count += 1
        if amount == 0:
            return count
    return -1

3、完整代码

以下是完整的贪心算法代码：

def coinChangeGreedy(coins, amount):
    coins.sort(reverse=True)
    count = 0
    for coin in coins:
        while amount >= coin:
            amount -= coin
            count += 1
        if amount == 0:
            return count
    return -1

三、递归方法

递归方法通过递归调用自身来解决问题。尽管这种方法通常比动态规划和贪心算法慢，但它有助于理解问题的递归结构。

1、递归函数

首先，定义一个递归函数 coinChangeRec，该函数接受当前金额和硬币列表作为参数。对于每一个硬币，如果当前金额大于等于硬币面值，则递归调用自身，计算剩余金额所需的最少硬币数量。

def coinChangeRec(coins, amount):
    if amount == 0:
        return 0
    if amount < 0:
        return float('inf')
    min_coins = float('inf')
    for coin in coins:
        result = coinChangeRec(coins, amount - coin)
        if result != float('inf'):
            min_coins = min(min_coins, result + 1)
    return min_coins

2、入口函数

定义一个入口函数 coinChange，调用递归函数并处理返回结果。

def coinChange(coins, amount):
    result = coinChangeRec(coins, amount)
    return result if result != float('inf') else -1

3、完整代码

以下是完整的递归方法代码：

def coinChangeRec(coins, amount):
    if amount == 0:
        return 0
    if amount < 0:
        return float('inf')
    min_coins = float('inf')
    for coin in coins:
        result = coinChangeRec(coins, amount - coin)
        if result != float('inf'):
            min_coins = min(min_coins, result + 1)
    return min_coins
def coinChange(coins, amount):
    result = coinChangeRec(coins, amount)
    return result if result != float('inf') else -1

四、性能比较

虽然递归方法在理解问题结构方面很有帮助，但它的性能通常较差，尤其是在较大的输入规模下。动态规划方法通过利用中间结果，显著提高了性能，是解决最少硬币找零问题的首选方法。贪心算法虽然简单，但并不总是最优。

五、总结

解决最少硬币找零问题有多种方法，包括动态规划、贪心算法和递归。动态规划方法通过构建一个表格来存储中间结果，从而避免重复计算，提高了算法的效率。贪心算法每次选择面值最大的硬币，尽管不总是最优，但在某些情况下仍然有效。递归方法通过递归调用自身来解决问题，虽然性能较差，但有助于理解问题的递归结构。根据具体情况选择合适的方法，可以有效解决最少硬币找零问题。