如何用Python输出n以内的质数

用Python输出n以内的质数，可以通过实现一个高效的算法来完成。常见的方法包括基本的除法方法、筛法求质数（埃拉托斯特尼筛法）以及改进的筛法。最常用和高效的方法是埃拉托斯特尼筛法，通过标记合数的方式来寻找质数。下面将详细介绍如何使用埃拉托斯特尼筛法来输出n以内的质数。

一、基本除法方法

基本除法方法是最直观的方法，即依次判断每一个数是否为质数。质数是指除了1和它本身没有其他因数的数。具体实现如下：

def is_prime(num):
    if num <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(num  0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True
def primes_up_to_n(n):
    primes = []
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime(i):
            primes.append(i)
    return primes
n = 100
print(primes_up_to_n(n))

在上述代码中，is_prime函数用于判断一个数是否为质数，primes_up_to_n函数则用于生成n以内的所有质数。

二、埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一种高效的算法，用来筛选n以内的所有质数。其基本思想是通过标记合数的方式来筛选出质数。具体步骤如下：

创建一个布尔数组is_prime，初始化为True，长度为n+1。
将is_prime[0]和is_prime[1]设置为False，因为0和1不是质数。
从2开始遍历数组，如果当前数是质数，则将其倍数标记为False。
最后，所有仍然为True的位置对应的索引就是质数。

具体实现如下：

def sieve_of_eratosthenes(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    p = 2
    while p * p <= n:
        if is_prime[p]:
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                is_prime[i] = False
        p += 1
    primes = [p for p in range(n + 1) if is_prime[p]]
    return primes
n = 100
print(sieve_of_eratosthenes(n))

三、改进的筛法

在埃拉托斯特尼筛法的基础上，还可以进行一些改进以提高效率。例如，可以从每个质数的平方开始标记合数，因为在此之前的倍数已经被标记过了。

def optimized_sieve(n):
    if n < 2:
        return []
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    p = 2
    while p * p <= n:
        if is_prime[p]:
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                is_prime[i] = False
        p += 1
    primes = [p for p in range(n + 1) if is_prime[p]]
    return primes
n = 100
print(optimized_sieve(n))

四、性能比较

在实际应用中，选择合适的算法非常重要。基本除法方法虽然直观，但对于大范围的数，其效率较低。埃拉托斯特尼筛法及其改进版本在处理大范围的数时表现出色，效率更高。

import time
n = 1000000
start_time = time.time()
primes_basic = primes_up_to_n(n)
print("Basic method took: %s seconds" % (time.time() - start_time))
start_time = time.time()
primes_sieve = sieve_of_eratosthenes(n)
print("Sieve of Eratosthenes took: %s seconds" % (time.time() - start_time))
start_time = time.time()
primes_optimized = optimized_sieve(n)
print("Optimized Sieve took: %s seconds" % (time.time() - start_time))