如何用python精确求圆周率

如何用 Python 精确求圆周率

用 Python 精确求圆周率可以通过多种方法实现，如蒙特卡罗方法、莱布尼茨公式、Chudnovsky 算法等。其中，Chudnovsky 算法因其高效和精确度高，被广泛应用于计算圆周率。本文将详细介绍如何使用 Chudnovsky 算法来计算圆周率。

Chudnovsky 算法是一种用于快速计算圆周率的算法，由 Chudnovsky 兄弟于 1988 年提出。该算法基于 Ramanujan 的 π 级数展开，并结合了高效的数值计算方法，使其在计算圆周率时具有极高的精确度和效率。

一、Chudnovsky 算法简介

Chudnovsky 算法通过以下级数来计算 π：

[ \frac{1}{\pi} = 12 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)! (k!)^3 (640320)^{3k+3/2}} ]

该级数收敛速度非常快，计算几百位甚至几千位的圆周率都非常高效。

二、实现 Chudnovsky 算法

1、安装必要的库

在开始实现算法之前，我们需要安装 mpmath 库，这个库专门用于高精度的浮点数计算。

pip install mpmath

2、实现代码

下面是使用 mpmath 库来实现 Chudnovsky 算法的代码：

from mpmath import mp
def chudnovsky_algorithm(precision):
    # 设置计算精度
    mp.dps = precision + 2  # 多加2位以提高计算精度
    # 常量定义
    C = 426880 * mp.sqrt(10005)
    def chudnovsky_term(k):
        numerator = mp.factorial(6 * k) * (545140134 * k + 13591409)
        denominator = mp.factorial(3 * k) * (mp.factorial(k) <strong> 3) * (-262537412640768000) </strong> k
        return numerator / denominator
    # 计算 π 的倒数
    series_sum = mp.mpf(0)
    k = 0
    while True:
        term = chudnovsky_term(k)
        series_sum += term
        if mp.fabs(term) < mp.mpf(10)  (-precision):
            break
        k += 1
    pi = C / series_sum
    return str(pi)[:precision + 2]  # 切掉多余的位数
计算圆周率的前1000位
precision = 1000
pi = chudnovsky_algorithm(precision)
print(pi)

三、代码详细解释

1、设置计算精度

mp.dps = precision + 2 # 多加2位以提高计算精度

mp.dps 设置了计算的精度，这里加了 2 位以确保最终结果的精确性。

2、常量定义

C = 426880 * mp.sqrt(10005)

该常量是 Chudnovsky 公式中的一个重要部分，用于计算 π 的倒数。

3、计算 Chudnovsky 级数的每一项

def chudnovsky_term(k):
    numerator = mp.factorial(6 * k) * (545140134 * k + 13591409)
    denominator = mp.factorial(3 * k) * (mp.factorial(k) <strong> 3) * (-262537412640768000) </strong> k
    return numerator / denominator

这个函数计算了 Chudnovsky 级数的第 k 项。公式中的分子和分母分别计算并返回它们的商。

4、计算级数的和

series_sum = mp.mpf(0)
k = 0
while True:
    term = chudnovsky_term(k)
    series_sum += term
    if mp.fabs(term) < mp.mpf(10)  (-precision):
        break
    k += 1

通过迭代计算级数的每一项，直到当前项小于指定精度的倒数为止。mp.fabs(term) < mp.mpf(10) (-precision) 用于判断当前项是否足够小，以终止迭代。

5、计算 π

pi = C / series_sum
return str(pi)[:precision + 2]  # 切掉多余的位数

最后，通过常量 C 除以级数和得到 π 的近似值，并返回精确到指定位数的结果。

四、其他计算 π 的方法

除了 Chudnovsky 算法，还有其他几种常用的方法来计算圆周率：

1、莱布尼茨公式

莱布尼茨公式通过以下级数计算 π：

[ \pi = 4 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k + 1} ]

这个公式虽然简单，但收敛速度较慢，需要计算大量项才能得到高精度的结果。

def leibniz_formula(precision):
    pi = 0
    for k in range(precision):
        pi += ((-1)k) / (2*k + 1)
    return 4 * pi
precision = 1000000
pi = leibniz_formula(precision)
print(f"Leibniz Formula: {pi}")

2、蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是一种基于概率的计算方法，通过随机生成点来估计 π 的值。

import random
def monte_carlo_pi(precision):
    inside_circle = 0
    total_points = precision
    for _ in range(total_points):
        x = random.uniform(0, 1)
        y = random.uniform(0, 1)
        if x<strong>2 + y</strong>2 <= 1:
            inside_circle += 1
    pi = (inside_circle / total_points) * 4
    return pi
precision = 1000000
pi = monte_carlo_pi(precision)
print(f"Monte Carlo Method: {pi}")

3、尼尔森公式

尼尔森公式是另一种级数展开的公式，用于计算 π：

[ \pi = 3 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} – \frac{2}{8k+4} – \frac{1}{8k+5} – \frac{1}{8k+6} \right) ]

def nilakantha_formula(precision):
    pi = 3
    for k in range(1, precision):
        pi += ((-1)<strong>(k-1)) / (16</strong>k) * (4/(8*k+1) - 2/(8*k+4) - 1/(8*k+5) - 1/(8*k+6))
    return pi
precision = 1000
pi = nilakantha_formula(precision)
print(f"Nilakantha Formula: {pi}")