如何用python画各种著名数学图案

如何用Python画各种著名数学图案

用Python绘制各种著名数学图案是一项有趣且教育意义深远的任务。可以用Python绘制著名数学图案的方式包括：使用Matplotlib库、利用NumPy库进行数值计算、结合SymPy库进行符号数学计算，这些工具可以帮助我们创建复杂且精美的数学图案。接下来，我们将详细探讨如何使用这些工具绘制一些著名的数学图案，并具体讲解其中的关键步骤和代码示例。

一、使用Matplotlib库绘制著名数学图案

Matplotlib是Python中最常用的绘图库之一，它提供了丰富的绘图功能，可以帮助我们绘制各种数学图案。首先，我们来看几个经典的数学图案。

1.1、绘制阿基米德螺线

阿基米德螺线是一种螺旋曲线，可以用极坐标方程来表示。其方程为：r = a + bθ，其中a和b是常数，θ是极角。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
参数
a = 0
b = 1
定义θ的范围
theta = np.linspace(0, 10 * np.pi, 1000)
极坐标方程
r = a + b * theta
转换为笛卡尔坐标
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
绘制图案
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y)
plt.title("阿基米德螺线")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.show()

1.2、绘制莱萨如曲线

莱萨如曲线是一种在Lissajous曲线家族中的特例。其方程为：x = A sin(a t + δ)，y = B sin(b t)，其中A和B是振幅，a和b是频率，δ是相位差。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
参数
A = 1
B = 1
a = 3
b = 2
delta = np.pi / 2
定义t的范围
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)
莱萨如曲线方程
x = A * np.sin(a * t + delta)
y = B * np.sin(b * t)
绘制图案
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y)
plt.title("莱萨如曲线")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.show()

二、利用NumPy库进行数值计算

NumPy是Python中最重要的数值计算库之一，它提供了丰富的数学函数和高效的数组操作。通过NumPy，我们可以方便地进行各种数学计算，并生成用于绘图的数据。

2.1、绘制曼德博集合

曼德博集合是复平面上的一个分形图案，可以通过反复迭代复数方程来生成。具体算法如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
曼德博集合参数
max_iter = 100
xmin, xmax, ymin, ymax = -2.0, 1.0, -1.5, 1.5
width, height = 800, 800
创建复平面
x = np.linspace(xmin, xmax, width)
y = np.linspace(ymin, ymax, height)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
C = X + 1j * Y
初始化迭代数组
Z = np.zeros_like(C)
escape_time = np.zeros(C.shape, dtype=int)
曼德博集合迭代
for i in range(max_iter):
    mask = np.abs(Z) <= 2
    escape_time[mask] = i
    Z[mask] = Z[mask]2 + C[mask]
绘制图案
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(escape_time, extent=(xmin, xmax, ymin, ymax), cmap='hot')
plt.colorbar()
plt.title("曼德博集合")
plt.xlabel("Re")
plt.ylabel("Im")
plt.show()

2.2、绘制朱利亚集合

朱利亚集合是曼德博集合的一个变种，通过固定复数参数c来生成。具体算法如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
朱利亚集合参数
c = -0.7 + 0.27015j
max_iter = 1000
xmin, xmax, ymin, ymax = -1.5, 1.5, -1.5, 1.5
width, height = 800, 800
创建复平面
x = np.linspace(xmin, xmax, width)
y = np.linspace(ymin, ymax, height)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + 1j * Y
初始化迭代数组
escape_time = np.zeros(Z.shape, dtype=int)
朱利亚集合迭代
for i in range(max_iter):
    mask = np.abs(Z) <= 2
    escape_time[mask] = i
    Z[mask] = Z[mask]2 + c
绘制图案
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(escape_time, extent=(xmin, xmax, ymin, ymax), cmap='hot')
plt.colorbar()
plt.title("朱利亚集合")
plt.xlabel("Re")
plt.ylabel("Im")
plt.show()

三、结合SymPy库进行符号数学计算

SymPy是Python中的符号数学计算库，它可以帮助我们进行符号数学计算，并生成用于绘图的表达式。通过SymPy，我们可以方便地处理复杂的数学表达式，并将其用于绘图。

3.1、绘制心形曲线

心形曲线是一种特殊的代数曲线，可以用参数方程来表示。其方程为：x = 16 sin^3(t)，y = 13 cos(t) – 5 cos(2t) – 2 cos(3t) – cos(4t)。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
定义t的范围
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)
心形曲线方程
x = 16 * np.sin(t)3
y = 13 * np.cos(t) - 5 * np.cos(2 * t) - 2 * np.cos(3 * t) - np.cos(4 * t)
绘制图案
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, color='red')
plt.title("心形曲线")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.show()

3.2、绘制玫瑰线

玫瑰线是一种在极坐标系中的曲线，其方程为：r = a cos(kθ) 或 r = a sin(kθ)，其中a和k是常数，θ是极角。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
参数
a = 1
k = 5
定义θ的范围
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)
玫瑰线方程
r = a * np.cos(k * theta)
转换为笛卡尔坐标
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
绘制图案
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y)
plt.title("玫瑰线")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.show()

四、综合应用与高级图案绘制

除了上述的基础图案，我们还可以综合应用Matplotlib、NumPy和SymPy，绘制更复杂和高级的数学图案。例如，结合分形几何和参数方程，绘制更具艺术性的图案。

4.1、绘制科赫雪花

科赫雪花是一种分形图案，通过不断迭代生成。其生成过程如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
定义科赫雪花函数
def koch_snowflake(order, scale=10):
    def _koch_snowflake_complex(order):
        if order == 0:
            angles = np.array([0, 120, -120, 0])
            return scale * np.exp(np.deg2rad(angles) * 1j)
        else:
            ZR = 0.5 - 0.5j * np.sqrt(3) / 3
            p1 = _koch_snowflake_complex(order - 1)
            p2 = np.roll(p1, shift=-1)
            dp = p2 - p1
            new_points = np.empty(len(p1) * 4, dtype=np.complex128)
            new_points[::4] = p1
            new_points[1::4] = p1 + dp / 3
            new_points[2::4] = p1 + dp / 3 * ZR
            new_points[3::4] = p1 + dp / 3 * 2
            return new_points
    points = _koch_snowflake_complex(order)
    return np.real(points), np.imag(points)
绘制科赫雪花
x, y = koch_snowflake(order=4)
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x, y)
plt.title("科赫雪花")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.show()

4.2、绘制龙形曲线

龙形曲线是一种通过递归生成的分形曲线，其生成过程如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
定义龙形曲线生成函数
def dragon_curve(order):
    def _dragon_curve_order(n):
        if n == 0:
            return np.array([1 + 1j])
        else:
            prev = _dragon_curve_order(n - 1)
            new = np.conj(prev) * np.exp(1j * np.pi / 2)
            return np.concatenate([prev, new])
    curve = _dragon_curve_order(order)
    return np.cumsum(curve)
绘制龙形曲线
order = 10
curve = dragon_curve(order)
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(curve.real, curve.imag)
plt.title("龙形曲线")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.show()

通过以上的实例，我们可以看到，Python的Matplotlib、NumPy和SymPy库提供了强大的工具，可以帮助我们绘制各种著名的数学图案。无论是简单的代数曲线、复杂的分形图案，还是结合符号数学计算的高级图案，这些工具都能满足我们的需求。希望通过这篇文章，您能更好地掌握如何用Python绘制各种著名的数学图案，并在实践中获得更多的乐趣。