python中GM11如何定义与引用

在Python中，GM11模型是一种用于时间序列预测的灰色模型。它可以通过一系列步骤进行定义和引用。 GM11模型的核心思想是通过累加生成序列，构造差分方程并求解，以实现对时间序列数据的预测。以下是详细的定义和引用过程。

一、灰色系统理论概述

灰色系统理论是一种用于处理不确定性和不完备数据的方法。它适用于小样本、贫信息的系统分析和预测。灰色模型（GM）是灰色系统理论的核心部分，其中GM(1,1)模型（简称GM11）是最常用的模型之一。

GM11模型的主要特点包括：对小样本数据的处理能力强、适用于线性和非线性时间序列数据、模型结构简单、计算方便。下面将详细介绍如何在Python中定义和引用GM11模型。

二、数据预处理

在使用GM11模型之前，需要对原始数据进行预处理。预处理步骤包括累加生成序列和计算背景值。

1、累加生成序列

累加生成序列是将原始数据序列进行累加，以降低序列的随机性和波动性。假设原始数据序列为 (X = {x(1), x(2), …, x(n)})，累加生成序列为 (X' = {x'(1), x'(2), …, x'(n)})，其中

[ x'(k) = \sum_{i=1}^{k} x(i) ]

2、计算背景值

背景值是累加生成序列中相邻两个值的平均值，用于构造差分方程。假设背景值序列为 (Z = {z(2), z(3), …, z(n)})，其中

[ z(k) = 0.5 \cdot x'(k) + 0.5 \cdot x'(k-1) ]

三、构造差分方程

根据累加生成序列和背景值，构造GM11模型的差分方程。假设差分方程的形式为

[ x(1) + a \cdot z(k) = b ]

其中 (a) 和 (b) 是待估计的参数。

通过最小二乘法估计参数 (a) 和 (b)，可以得到

[ \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} = (B^T \cdot B)^{-1} \cdot B^T \cdot Y ]

其中

[ B = \begin{pmatrix} -z(2) & 1 \ -z(3) & 1 \ … & … \ -z(n) & 1 \end{pmatrix} ]

[ Y = \begin{pmatrix} x(2) \ x(3) \ … \ x(n) \end{pmatrix} ]

四、模型求解与预测

根据估计的参数 (a) 和 (b)，求解差分方程，并进行预测。假设预测值序列为 (\hat{X} = {\hat{x}(1), \hat{x}(2), …, \hat{x}(n)})，其中

[ \hat{x}(k) = (x(1) – \frac{b}{a}) \cdot e^{-a(k-1)} + \frac{b}{a} ]

五、Python实现

下面是一个完整的Python代码示例，用于定义和引用GM11模型。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def gm11(x0):
    x1 = np.cumsum(x0)  # 累加生成序列
    z1 = 0.5 * (x1[:-1] + x1[1:])  # 计算背景值
    B = np.vstack([-z1, np.ones(len(z1))]).T
    Y = x0[1:]
    [[a], [b]] = np.linalg.inv(B.T @ B) @ B.T @ Y  # 最小二乘法估计参数
    return a, b
def predict(x0, a, b, n):
    x1 = np.cumsum(x0)
    x_hat = [(x0[0] - b / a) * np.exp(-a * k) + b / a for k in range(n)]
    x_hat = np.diff([0] + x_hat).tolist()
    return x_hat
示例数据
x0 = np.array([2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0])
GM11模型
a, b = gm11(x0)
预测
n = 10
x_hat = predict(x0, a, b, n)
输出结果
print("原始数据:", x0)
print("预测数据:", x_hat)
绘制预测结果
plt.plot(range(len(x0)), x0, 'bo-', label='Original')
plt.plot(range(n), x_hat, 'ro-', label='Predicted')
plt.legend()
plt.show()