如何用python判定素数

用Python判定素数的方法有多种，比如：简单遍历法、优化遍历法、试除法和埃拉托斯特尼筛法。 其中，优化遍历法是一种较为常用且效率较高的方法。优化遍历法通过减少判断次数，提高了素数判定的效率。下面详细讲解优化遍历法的实现过程。

优化遍历法的基本思想是，素数只能被1和它本身整除，因此我们只需要检查从2到该数平方根之间的所有数能否整除该数即可。如果存在一个数能整除它，那么它就不是素数；否则，它就是素数。通过这种方法，我们可以大大减少判断次数，从而提高效率。

import math
def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
测试
print(is_prime(29))  # True
print(is_prime(15))  # False

一、简单遍历法

简单遍历法是最直观的一种方法，主要通过从2到n-1依次判断n是否能被这些数整除。如果能被其中任何一个数整除，则n不是素数，否则是素数。虽然这种方法简单直观，但对于较大的数，效率较低。

def is_prime_simple(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
测试
print(is_prime_simple(29))  # True
print(is_prime_simple(15))  # False

二、优化遍历法

优化遍历法通过减少需要判断的数的范围，提升了效率。具体做法是，只需检查从2到n的平方根之间的数即可。如果存在数能整除n，那么n就不是素数。通过这种优化，可以大大减少判断次数，提高效率。

import math
def is_prime_optimized(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
测试
print(is_prime_optimized(29))  # True
print(is_prime_optimized(15))  # False

三、试除法

试除法是一种更为优化的素数判定方法。其原理是通过不断除以小于等于该数平方根的素数来判断该数是否为素数。如果存在能整除该数的素数，则该数不是素数；否则，该数是素数。

def is_prime_trial_division(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True
测试
print(is_prime_trial_division(29))  # True
print(is_prime_trial_division(15))  # False

四、埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一种高效的素数判定方法，适用于判定一个范围内的所有素数。其基本思想是，从2开始，将每个素数的倍数标记为非素数，直到遍历完所有数。该方法的时间复杂度为O(n log log n)，适用于大范围的素数判定。

def sieve_of_eratosthenes(limit):
    is_prime = [True] * (limit + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    p = 2
    while p * p <= limit:
        if is_prime[p]:
            for i in range(p * p, limit + 1, p):
                is_prime[i] = False
        p += 1
    return [p for p in range(limit + 1) if is_prime[p]]
测试
print(sieve_of_eratosthenes(30))  # [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

五、性能对比

不同素数判定方法在性能上的表现有所不同。简单遍历法由于需要遍历到n-1，对于较大的数效率低下。优化遍历法通过减少判断范围，提高了效率。试除法通过进一步优化，效率更高。埃拉托斯特尼筛法适用于大范围的素数判定，效率最高。

我们可以通过对比不同方法的执行时间，来直观感受它们在性能上的差异。

import time
n = 1000000
测试简单遍历法
start_time = time.time()
is_prime_simple(n)
end_time = time.time()
print("Simple traversal method:", end_time - start_time)
测试优化遍历法
start_time = time.time()
is_prime_optimized(n)
end_time = time.time()
print("Optimized traversal method:", end_time - start_time)
测试试除法
start_time = time.time()
is_prime_trial_division(n)
end_time = time.time()
print("Trial division method:", end_time - start_time)
测试埃拉托斯特尼筛法
start_time = time.time()
sieve_of_eratosthenes(n)
end_time = time.time()
print("Sieve of Eratosthenes method:", end_time - start_time)