python如何判断是否是素数

Python判断一个数是否是素数的方法有很多种，主要有试除法、埃拉托斯特尼筛法、6k±1法等，试除法是最常用且易于理解的方法。试除法的基本思路是，判断一个数是否能被小于其平方根的所有素数整除，如果不能整除则说明该数是素数。下面我们详细介绍如何使用试除法来判断一个数是否是素数。

一、试除法

试除法是一种简单直接的方法，它的基本原理是：如果一个数n能够被小于等于其平方根的数整除，那么n就不是素数。我们可以通过以下步骤来判断一个数是否是素数：

如果n小于等于1，则n不是素数。
如果n等于2或3，则n是素数。
如果n能被2整除，则n不是素数。
从5开始，检查n是否能被任何小于等于sqrt(n)的奇数整除。如果能，则n不是素数；否则，n是素数。

下面是Python代码的实现：

import math
def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True
测试
print(is_prime(29))  # True
print(is_prime(15))  # False

二、埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一种高效的筛选素数的方法，适合用于生成一定范围内的所有素数。其基本原理是：从2开始，将2的倍数全部标记为非素数，然后找到下一个未标记的数，将其倍数全部标记为非素数，以此类推，直到所有小于等于n的数都被标记为止。

以下是埃拉托斯特尼筛法的Python实现：

def sieve_of_eratosthenes(n):
    primes = [True] * (n + 1)
    p = 2
    while (p * p <= n):
        if primes[p] == True:
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                primes[i] = False
        p += 1
    prime_numbers = [p for p in range(2, n + 1) if primes[p]]
    return prime_numbers
测试
print(sieve_of_eratosthenes(30))  # [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

三、6k±1法

6k±1法是一种优化的试除法，利用了素数的特性来减少需要检查的数的数量。除了2和3，所有的素数都可以表示为6k±1的形式。因此，我们可以跳过所有能被2和3整除的数，只检查6k±1形式的数。

以下是6k±1法的Python实现：

def is_prime_6k(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True
测试
print(is_prime_6k(29))  # True
print(is_prime_6k(15))  # False

四、其他方法

除了上述方法外，还有一些其他的方法可以用来判断一个数是否是素数：

1、米勒-拉宾素性测试

米勒-拉宾素性测试是一种基于概率的素数测试方法，适合用于大数的素数判定。其基本原理是通过一系列的随机性测试来判断一个数是否为素数，如果在所有测试中都通过，则该数是素数的概率非常高。

以下是米勒-拉宾素性测试的Python实现：

import random
def miller_rabin(n, k=5):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    def check(a, s, d, n):
        x = pow(a, d, n)
        if x == 1 or x == n - 1:
            return True
        while s > 1:
            x = pow(x, 2, n)
            if x == n - 1:
                return True
            s -= 1
        return False
    s = 0
    d = n - 1
    while d % 2 == 0:
        d >>= 1
        s += 1
    for _ in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        if not check(a, s, d, n):
            return False
    return True
测试
print(miller_rabin(29))  # True
print(miller_rabin(15))  # False

2、费马素性测试

费马素性测试是一种基于费马小定理的素数测试方法，适合用于大数的素数判定。其基本原理是：如果p是素数且a是小于p的任意整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。通过选取随机整数a，判断其是否满足费马小定理，如果满足，则该数有很高的概率是素数。

以下是费马素性测试的Python实现：

import random
def fermat_test(n, k=5):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    for _ in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        if pow(a, n - 1, n) != 1:
            return False
    return True
测试
print(fermat_test(29))  # True
print(fermat_test(15))  # False