如何用python判断一个完数

一、什么是完数

完数（Perfect Number）是指一个正整数，它所有的真因子（即除了自身以外的所有因子）之和等于它本身。例如，6 是一个完数，因为 1, 2, 和 3 是它的真因子，而 1 + 2 + 3 = 6。类似的，28 也是一个完数，因为 1, 2, 4, 7, 14 是它的真因子，而 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。判断一个数是否为完数可以通过编写 Python 程序来实现。接下来我们将详细介绍如何用 Python 编写一个程序来判断一个数是否为完数。

二、用 Python 判断一个完数的步骤

计算真因子之和
判断真因子之和是否等于原数

1. 计算真因子之和

要判断一个数是否为完数，首先需要计算它所有真因子的和。我们可以通过遍历从 1 到该数的一半的所有数，来找到所有的真因子。由于一个数的因子在它的一半之后就不会再有了（除了它自己），所以只需要遍历到 n//2 即可。

def sum_of_divisors(n):
    sum_div = 0
    for i in range(1, n // 2 + 1):
        if n % i == 0:
            sum_div += i
    return sum_div

在这个函数中，我们初始化一个变量 sum_div 为 0，然后遍历从 1 到 n // 2 的所有数。如果当前数 i 是 n 的因子（即 n % i == 0），我们就把 i 加到 sum_div 中。最后返回 sum_div，即 n 的所有真因子之和。

2. 判断真因子之和是否等于原数

有了真因子之和后，我们就可以判断这个和是否等于原数，如果等于则这个数是一个完数，否则不是。

def is_perfect_number(n):
    return sum_of_divisors(n) == n

在这个函数中，我们调用 sum_of_divisors 函数计算 n 的所有真因子之和，然后判断这个和是否等于 n。如果相等则返回 True，否则返回 False。

3. 完整的 Python 程序

最后，我们可以把这两个函数结合起来，写一个完整的 Python 程序来判断一个数是否为完数。

def sum_of_divisors(n):
    sum_div = 0
    for i in range(1, n // 2 + 1):
        if n % i == 0:
            sum_div += i
    return sum_div
def is_perfect_number(n):
    return sum_of_divisors(n) == n
测试
num = 28
if is_perfect_number(num):
    print(f"{num} 是一个完数")
else:
    print(f"{num} 不是一个完数")

在这个程序中，我们定义了两个函数 sum_of_divisors 和 is_perfect_number，然后使用 is_perfect_number 函数判断 28 是否为完数，并打印结果。

三、进一步优化和扩展

1. 优化计算真因子之和

虽然上面的程序已经能够正确判断一个数是否为完数，但我们可以对它进行一些优化。特别是，我们可以减少不必要的计算，进一步优化 sum_of_divisors 函数。

def sum_of_divisors(n):
    sum_div = 1
    for i in range(2, int(n  0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            sum_div += i
            if i != n // i:
                sum_div += n // i
    return sum_div

在这个优化后的 sum_of_divisors 函数中，我们从 2 遍历到 sqrt(n)，对于每一个因子 i，我们同时加上 i 和 n // i。这样可以减少遍历次数，提高效率。

2. 扩展功能：查找一定范围内的所有完数

我们还可以扩展程序，使其能够查找一定范围内的所有完数。

def find_perfect_numbers(limit):
    perfect_numbers = []
    for num in range(2, limit + 1):
        if is_perfect_number(num):
            perfect_numbers.append(num)
    return perfect_numbers
查找 10000 以内的所有完数
limit = 10000
perfect_numbers = find_perfect_numbers(limit)
print(f"{limit} 以内的完数有: {perfect_numbers}")