如何用python算单纯形法

要使用Python实现单纯形法，可以通过以下几个步骤：导入相关库、定义基本输入、实现初始单纯形表、执行迭代步骤、检测最优性和无界性、输出结果。在本文中，我们将详细展开这几个步骤中的每一个，并通过代码示例进行说明。

一、导入相关库

在开始实现单纯形法之前，我们需要导入一些基础的Python库，例如numpy和pandas，这些库将帮助我们进行矩阵运算和数据处理。

import numpy as np
import pandas as pd

二、定义基本输入

我们需要定义线性规划问题的基本输入。假设我们有一个标准形式的线性规划问题：

最大化： c^T * x

约束： A * x ≤ b

x ≥ 0

其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右端向量。

c = np.array([3, 2])
A = np.array([[1, 2], [4, 0], [0, 4]])
b = np.array([8, 16, 8])

三、实现初始单纯形表

为了实现单纯形法，我们需要构建初始单纯形表。单纯形表是一种特殊的矩阵形式，它包括约束条件的系数、目标函数的系数以及其他相关信息。

def create_simplex_tableau(c, A, b):
    num_constraints, num_variables = A.shape
    tableau = np.zeros((num_constraints + 1, num_variables + num_constraints + 1))
    # 填充目标函数行
    tableau[-1, :num_variables] = -c
    tableau[-1, -1] = 0
    # 填充约束条件行
    tableau[:-1, :num_variables] = A
    tableau[:-1, num_variables:num_variables + num_constraints] = np.eye(num_constraints)
    tableau[:-1, -1] = b
    return tableau
tableau = create_simplex_tableau(c, A, b)

四、执行迭代步骤

单纯形法的核心是通过迭代步骤不断改善当前解。每一步迭代包括选择入基变量和出基变量，更新单纯形表，直到找到最优解或确定问题无界。

def pivot(tableau, row, col):
    tableau[row, :] /= tableau[row, col]
    for i in range(tableau.shape[0]):
        if i != row:
            tableau[i, :] -= tableau[i, col] * tableau[row, :]
def simplex(tableau):
    num_constraints, num_variables = tableau.shape[0] - 1, tableau.shape[1] - 1
    while any(tableau[-1, :-1] < 0):
        col = np.argmin(tableau[-1, :-1])
        if all(tableau[:-1, col] <= 0):
            raise ValueError("问题无界")
        ratios = tableau[:-1, -1] / tableau[:-1, col]
        ratios[ratios <= 0] = np.inf
        row = np.argmin(ratios)
        pivot(tableau, row, col)
    return tableau
tableau = simplex(tableau)

五、检测最优性和无界性

在每一步迭代中，我们需要检查当前解是否已经达到最优或问题是否无界。如果单纯形表中目标函数行的所有系数都大于或等于零，则当前解为最优解。否则，我们选择入基变量进行下一步迭代。

def is_optimal(tableau):
    return all(tableau[-1, :-1] >= 0)
def is_unbounded(tableau, col):
    return all(tableau[:-1, col] <= 0)

六、输出结果

最终，我们需要从单纯形表中提取最优解。最优解对应于基变量列中的值。

def extract_solution(tableau, num_variables):
    solution = np.zeros(num_variables)
    for i in range(num_variables):
        col = tableau[:, i]
        if np.count_nonzero(col) == 1 and np.sum(col) == 1:
            row = np.where(col == 1)[0][0]
            solution[i] = tableau[row, -1]
    return solution
solution = extract_solution(tableau, c.size)
print("最优解:", solution)
print("最优值:", tableau[-1, -1])

七、完整代码示例

以下是完整的Python实现单纯形法的代码示例：

import numpy as np
import pandas as pd
def create_simplex_tableau(c, A, b):
    num_constraints, num_variables = A.shape
    tableau = np.zeros((num_constraints + 1, num_variables + num_constraints + 1))
    tableau[-1, :num_variables] = -c
    tableau[-1, -1] = 0
    tableau[:-1, :num_variables] = A
    tableau[:-1, num_variables:num_variables + num_constraints] = np.eye(num_constraints)
    tableau[:-1, -1] = b
    return tableau
def pivot(tableau, row, col):
    tableau[row, :] /= tableau[row, col]
    for i in range(tableau.shape[0]):
        if i != row:
            tableau[i, :] -= tableau[i, col] * tableau[row, :]
def simplex(tableau):
    num_constraints, num_variables = tableau.shape[0] - 1, tableau.shape[1] - 1
    while any(tableau[-1, :-1] < 0):
        col = np.argmin(tableau[-1, :-1])
        if all(tableau[:-1, col] <= 0):
            raise ValueError("问题无界")
        ratios = tableau[:-1, -1] / tableau[:-1, col]
        ratios[ratios <= 0] = np.inf
        row = np.argmin(ratios)
        pivot(tableau, row, col)
    return tableau
def extract_solution(tableau, num_variables):
    solution = np.zeros(num_variables)
    for i in range(num_variables):
        col = tableau[:, i]
        if np.count_nonzero(col) == 1 and np.sum(col) == 1:
            row = np.where(col == 1)[0][0]
            solution[i] = tableau[row, -1]
    return solution
c = np.array([3, 2])
A = np.array([[1, 2], [4, 0], [0, 4]])
b = np.array([8, 16, 8])
tableau = create_simplex_tableau(c, A, b)
tableau = simplex(tableau)
solution = extract_solution(tableau, c.size)
print("最优解:", solution)
print("最优值:", tableau[-1, -1])