如何用python书写斐波那契函数

用Python书写斐波那契函数的方法有多种，主要包括递归法、迭代法和使用动态规划。在实际应用中，迭代法和动态规划更为常用，因为它们比递归法效率更高。下面将详细解释迭代法的实现，并在后续部分介绍其他方法的优缺点和具体实现。

一、斐波那契数列简介

斐波那契数列是数学中的一个经典问题，定义如下：前两项是0和1，从第三项起，每一项都等于前两项之和。数学公式为：

[ F(n) =

\begin{cases}

0 & \text{if } n = 0 \

1 & \text{if } n = 1 \

F(n-1) + F(n-2) & \text{if } n > 1

\end{cases}

]

二、斐波那契数列的迭代法

1、算法思路

迭代法是通过循环逐步计算每一项的值，而不是通过函数调用自身。它的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，效率较高。

2、代码实现

def fibonacci_iterative(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b
测试迭代法
print(fibonacci_iterative(10))  # 输出55

3、优缺点分析

优点：

效率高：时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。
易于实现：代码简洁明了。

缺点：

不适用于非常大的n：当n非常大时，仍需较长的计算时间。

三、斐波那契数列的递归法

1、算法思路

递归法直接按照数学定义进行实现。每次函数调用自身来计算前两项的值。时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度为O(n)。

2、代码实现

def fibonacci_recursive(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)
测试递归法
print(fibonacci_recursive(10))  # 输出55

3、优缺点分析

优点：

简单直接：实现非常直观，符合数学定义。

缺点：

效率低：时间复杂度为O(2^n)，对于较大的n，计算时间非常长。
占用内存：空间复杂度为O(n)，递归深度增加会导致内存占用增加。

四、斐波那契数列的动态规划法

1、算法思路

动态规划法通过存储已经计算过的值，避免重复计算。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

2、代码实现

def fibonacci_dynamic(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]
测试动态规划法
print(fibonacci_dynamic(10))  # 输出55

3、优缺点分析

优点：

效率高：时间复杂度为O(n)。
避免重复计算：通过存储已计算的值，减少计算时间。

缺点：

空间占用：空间复杂度为O(n)，需要额外的数组来存储中间结果。

五、斐波那契数列的矩阵快速幂法

1、算法思路

通过矩阵快速幂法，可以将斐波那契数列的计算时间复杂度降低到O(log n)。核心思想是利用矩阵乘法的性质加速计算。

2、代码实现

import numpy as np
def fibonacci_matrix(n):
    def matrix_multiply(A, B):
        return np.dot(A, B)
    def matrix_power(matrix, n):
        result = np.eye(len(matrix), dtype=int)
        base = matrix
        while n > 0:
            if n % 2 == 1:
                result = matrix_multiply(result, base)
            base = matrix_multiply(base, base)
            n //= 2
        return result
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    F = np.array([[1, 1], [1, 0]], dtype=int)
    result = matrix_power(F, n - 1)
    return result[0][0]
测试矩阵快速幂法
print(fibonacci_matrix(10))  # 输出55