JavaScript 如何实现伪随机正态分布

JavaScript中实现伪随机正态分布可以通过 Box-Muller变换算法、中心极限定理 的应用来完成。Box-Muller 算法是一种产生标准正态分布（均值为0、方差为1）随机数的方法。该算法使用两个独立的均匀分布的随机变量，通过变换生成两个独立的正态分布随机变量。具体来说，如果有U1和U2为区间(0,1)上的均匀分布的随机变量，那么计算出的Z0和Z1将服从标准正态分布，计算公式为：

Z0 = sqrt(-2 * log(U1)) * cos(2 * π * U2)
Z1 = sqrt(-2 * log(U1)) * sin(2 * π * U2)

其中，log是取自然对数函数，π是圆周率, sqrt是平方根函数。通过对这个基础算法进行适当的缩放和平移，可以得到任意均值和方差的正态分布随机变量。

一、实现基本的Box-Muller变换

为了在JavaScript中实现Box-Muller变换，我们首先需要生成两个(0,1)区间内的均匀分布随机数，然后应用上述变换公式：

function generateStandardNormal() {
    var U1, U2, Z0;
    U1 = Math.random();
    U2 = Math.random();
    Z0 = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(U1)) * Math.cos(2.0 * Math.PI * U2);
    return Z0;
}
for (var i = 0; i < 1000; i++) {
    console.log(generateStandardNormal());
}

二、调节均值和方差

虽然Box-Muller变换产生的是标准正态分布的随机数，但我们可以通过简单的数学操作对其进行调整，使得随机数符合我们所需的均值(mean)和方差(variance)：

function generateNormal(mean, variance) {
    var standardNormal = generateStandardNormal(); // 使用Box-Muller生成标准正态分布的随机数
    return mean + standardNormal * Math.sqrt(variance);
}
var desiredMean = 5.0;
var desiredVariance = 2.0;
for (var i = 0; i < 1000; i++) {
    console.log(generateNormal(desiredMean, desiredVariance));
}

三、采用中心极限定理

另一个生成正态分布随机数的方法是利用中心极限定理。根据这一定理，多个独立的、相同分布的随机变量之和的分布，当这些随机变量的数量足够多时，逼近正态分布。我们可以简单地将多个(0,1)均匀分布随机数相加，然后适当调整结果，使其服从正态分布。

function generateNormalByCLT(mean, variance) {
    var sum = 0;
    for (var i = 0; i < 12; i++) {
        sum += Math.random();
    }
    // 根据中心极限定理对结果进行调整
    sum -= 6; // 使均值为0
    return mean + sum * Math.sqrt(variance / 12);
}
var desiredMean = 5.0;
var desiredVariance = 2.0;
for (var i = 0; i < 1000; i++) {
    console.log(generateNormalByCLT(desiredMean, desiredVariance));
}

四、验证生成的正态分布

生成随机数之后，我们还需要验证它们是否真的符合正态分布。一方面，可以通过图形化手段例如绘制直方图、Q-Q图来直观地观察分布情况；另一方面，可以使用数学统计方法如 Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验 来评估随机数的正态性。

// 以生成直方图为例：
function plotHistogram(values, binCount) {
    var histogram = new Array(binCount).fill(0);
    var max = Math.max(...values);
    var min = Math.min(...values);
    var range = (max - min) / binCount;
    for (var value of values) {
        var index = Math.floor((value - min) / range);
        if (index === binCount) {
            index--;
        }
        histogram[index]++;
    }
    // 这里可以使用任意绘图库来展示histogram数组，这个数组描述了直方图各个柱状的高度
}
var randomNumbers = [];
for (var i = 0; i < 1000; i++) {
    randomNumbers.push(generateNormal(0, 1));
}
plotHistogram(randomNumbers, 50);