Manacher算法的时间复杂度是O(n)，此算法用于快速找到字符串中所有的回文子串。该算法的核心理念在于利用已知的回文信息来避免不必要的重复检查，通过在每个字符间插入一个特殊符号、构造一个数组来记录以各个字符为中心的回文子串的最大半径长度，这样即使面对原字符串的长度变化，我们也能保持算法的线性时间复杂度。具体来说，算法中有两个关键概念“中心扩展”和“对称性质”的引入及利用，是维持其线性时间复杂度的重要保证。
一、回文串与Manacher算法基础
回文串是指一个字符串从前往后读和从后往前读完全相同的字符串。为了便于处理长度为奇数和偶数的回文串，Manacher算法首先在输入的字符串中的每个相邻字符之间插入一个分隔符（通常选择一个原字符串中不会出现的字符，例如#）。这样，所有的回文都被转换成了奇数长度，解决了奇偶长度的问题。
二、Manacher算法的核心思想
Manacher算法的核心思想在于最大回文右边界和它的中心。算法维护一个最大回文右边界R和这个位置对应的回文中心C。遍历字符串过程中，通过比较当前位置i与R的关系，以及利用回文的对称性质，在部分情况下可以直接得出或者快速逼近当前位置的回文半径。
三、时间复杂度的证明
对于Manacher算法的时间复杂度证明，关键在于证明算法的每个步骤都是紧致的、没有不必要的工作，而由于已知信息的有效利用，算法不会对任何位置进行超过一次的回文半径验证。
回文中心的移动：
考虑算法中回文中心C的移动。在最坏的情况下，每增加一个字符，C的位置可能就向右移动一次。因此整个字符串处理过程中C最多移动n次。
右边界的扩展：
最大回文右边界R在算法执行过程中只会向右移动，每次移动的距离取决于进行了中心扩展之后发现的新回文子串的长度。由于字符串的每个部分至多被扩展一次，R总的移动次数也是线性的，即不会超过n。
算法过程中任何的字符至多被访问两次（一次是作为回文中心，一次是作为已知回文的一部分进行跳过或者验证），这确保了整个算法的时间复杂度是线性的。
四、算法步骤的详细解释
预处理：
首先是字符串的预处理，引入一个特殊字符（如#）填充原字符串的每个字符之间和首尾，这一步过程中每个字符访问一次，线性时间完成。
回文扩展：
算法中每个字符最多作为回文中心扩展一次，扩展过程中每次成功扩展就移动回文右边界R。由于每个字符至多作为一次回文中心，这部分也是线性时间。
五、利用对称性质跳过计算
算法利用已知的回文子串的对称性质，对于当前中心i如果在最右边界R内，那么可以用它关于当前回文中心的对称点i'的回文信息来初始化i的回文半径，这等于或者大于实际值。这样可以跳过部分计算，直接根据对称中心i'的回文半径快速定位到新的可能扩展点。
综上，通过避免重复检查并合理地利用已知信息减少不必要的计算，Manacher算法确保了每次操作都是必要且高效的，整体上保证了算法的线性时间复杂度O(n)。
相关问答FAQs：
Q1: Manacher算法的时间复杂度是如何得出来的？
Manacher算法的时间复杂度是通过对算法的每个步骤逐一分析，并进行时间复杂度分析得出来的。具体而言，Manacher算法的关键步骤是通过利用已知回文串的性质来剪枝，从而降低了回文串的搜索时间。该算法通过维护一个回文串的边界以及其对称中心，并利用已知回文串的对称性来避免重复计算。这些步骤的时间复杂度是O(n)，因此整个Manacher算法的时间复杂度也是O(n)。
Q2: 如何证明Manacher算法的时间复杂度是线性的？
Manacher算法的时间复杂度是线性的，即O(n)，其中n是输入字符串的长度。这可以通过对算法内部的每个步骤进行分析来证明。首先，Manacher算法通过预处理将原始字符串转换为一个新的字符串，以保证原来的回文串中没有重复字符。这个预处理过程的时间复杂度是O(n)。接下来，Manacher算法通过维护一个回文串的边界以及其对称中心，并利用已知回文串的对称性来剪枝，从而降低回文串的搜索时间。这些步骤的时间复杂度也是O(n)。因此，整个Manacher算法的时间复杂度是O(n)。
Q3: Manacher算法时间复杂度为什么是O(n)而不是O(n^2)或O(nlogn)？
Manacher算法通过利用已知回文串的性质来剪枝，降低回文串的搜索时间。具体而言，Manacher算法维护一个回文串的边界以及其对称中心，并利用回文串的对称性来避免重复计算。这样一来，算法中每个字符最多被处理两次，一次是由于以该字符为中心的回文串的扩展，另一次是由于以该字符为对称中心的回文串的扩展。因此，Manacher算法的时间复杂度是线性的，即O(n)。相比之下，O(n^2)或O(nlogn)的复杂度通常来自于暴力求解或分治算法，而Manacher算法通过巧妙地利用回文串的性质进行剪枝，使得复杂度得以降低。
