用c语言如何求最长上升子序列

用C语言求最长上升子序列的方法包含动态规划、二分查找、递归等，其中，动态规划是最为常见和直观的方法。动态规划方法通过逐步找到每个位置的最长上升子序列，最后再从这些结果中找到最大的那个。接下来，我们将详细介绍动态规划方法求解最长上升子序列的过程，并给出相应的C语言代码实现。

一、动态规划方法

动态规划方法是求解最长上升子序列问题的经典方法。其基本思路是：对于每个位置i，计算以i结尾的最长上升子序列的长度。具体步骤如下：

1、初始化DP数组

首先，我们需要一个DP数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。初始时，所有元素的最长上升子序列长度都是1，因为每个元素本身就是一个长度为1的上升子序列。

int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

int dp[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    dp[i] = 1;
}

2、更新DP数组

接下来，我们需要遍历数组，对于每个元素arr[i]，检查之前的所有元素arr[j]（其中j < i）。如果arr[j] < arr[i]，则说明arr[i]可以接在以arr[j]结尾的上升子序列后面，从而构成一个新的上升子序列。此时，我们更新dp[i]的值：

for (int i = 1; i < n; i++) {

    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (arr[j] < arr[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) {
            dp[i] = dp[j] + 1;
        }
    }
}

3、找出最长的上升子序列长度

在更新完DP数组后，我们只需要找到dp数组中的最大值，即为最长上升子序列的长度。

int lis = 0;

for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (dp[i] > lis) {
        lis = dp[i];
    }
}

二、完整代码示例

下面是完整的C语言代码示例，展示了如何使用动态规划方法求解最长上升子序列问题：

#include <stdio.h>

int longestIncreasingSubsequence(int arr[], int n) {
    int dp[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = 1;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (arr[j] < arr[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) {
                dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }
    }
    int lis = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (dp[i] > lis) {
            lis = dp[i];
        }
    }
    return lis;
}
int main() {
    int arr[] = {10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    printf("Length of longest increasing subsequence is %dn", longestIncreasingSubsequence(arr, n));
    return 0;
}

三、时间复杂度分析

动态规划方法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是数组的长度。虽然这种方法的时间复杂度较高，但其实现简单且易于理解，适用于中小规模的数据集。

四、优化方法——二分查找

为了进一步优化时间复杂度，可以结合二分查找来实现。这种方法将时间复杂度降低到O(n log n)，适用于较大规模的数据集。其核心思想是在构建一个存储当前上升子序列的数组时，通过二分查找来找到插入位置，从而保持数组的有序性。

1、初始化辅助数组

我们使用一个辅助数组tail，其中tail[i]表示长度为i+1的上升子序列的最后一个元素。初始时，tail数组为空。

int tail[n];

int length = 0;

2、更新辅助数组

我们遍历原数组，对于每个元素arr[i]，使用二分查找找到其在tail数组中的插入位置。如果arr[i]大于tail数组中的所有元素，则将其添加到tail数组的末尾；否则，替换相应位置的元素。

for (int i = 0; i < n; i++) {

    int left = 0, right = length;
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (tail[mid] < arr[i]) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid;
        }
    }
    tail[left] = arr[i];
    if (left == length) {
        length++;
    }
}

3、最终结果

length变量即为最长上升子序列的长度。

五、完整代码示例（优化方法）

下面是结合二分查找的优化方法的完整代码示例：

#include <stdio.h>

int longestIncreasingSubsequence(int arr[], int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    int tail[n];
    int length = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int left = 0, right = length;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (tail[mid] < arr[i]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        tail[left] = arr[i];
        if (left == length) {
            length++;
        }
    }
    return length;
}
int main() {
    int arr[] = {10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    printf("Length of longest increasing subsequence is %dn", longestIncreasingSubsequence(arr, n));
    return 0;
}

六、总结

通过上述两种方法，我们可以有效地解决求最长上升子序列的问题。动态规划方法简单直观，但时间复杂度较高；结合二分查找的优化方法则大大降低了时间复杂度，适用于较大规模的数据集。根据具体应用场景选择合适的方法，可以更高效地解决问题。

在实际项目管理中，管理和跟踪项目任务的进展同样需要高效的方法。推荐使用研发项目管理系统PingCode和通用项目管理软件Worktile，它们能够帮助团队更好地协作和管理任务，提高工作效率和项目成功率。

通过掌握这些算法和工具，不仅能够解决具体的编程问题，还能提升整体项目管理能力，从而在实际工作中获得更好的表现。

相关问答FAQs：

1. 什么是最长上升子序列？

最长上升子序列是指在一个给定序列中，找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素按照顺序递增。

2. 如何用C语言编写求最长上升子序列的算法？

可以使用动态规划的方法来解决这个问题。定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。然后遍历整个序列，对于每个元素，从前面的元素中找到比它小的元素，更新dp[i]的值为dp[j]+1（其中j < i）中的最大值。最后，遍历dp数组，找到最大的值即为最长上升子序列的长度。

下面是一个简单的示例代码：

#include <stdio.h>

int findLongestIncreasingSubsequence(int arr[], int n) {
    int dp[n];
    int maxLen = 1;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (arr[i] > arr[j] && dp[j] + 1 > dp[i]) {
                dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }
        if (dp[i] > maxLen) {
            maxLen = dp[i];
        }
    }

    return maxLen;
}

int main() {
    int arr[] = {3, 2, 5, 1, 4, 6};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    int longestIncreasingSubsequence = findLongestIncreasingSubsequence(arr, n);
    printf("The length of the longest increasing subsequence is %dn", longestIncreasingSubsequence);

    return 0;
}

3. 如何优化求最长上升子序列的算法的性能？

上述动态规划的算法的时间复杂度为O(n^2)，可以通过使用二分查找来优化算法的性能。定义一个辅助数组tails，其中tails[i]表示长度为i+1的最长上升子序列的最后一个元素的值。遍历整个序列，对于每个元素，使用二分查找找到它在tails数组中应该插入的位置，然后更新tails数组。最后，tails数组的长度即为最长上升子序列的长度。

下面是一个优化后的示例代码：

#include <stdio.h>

int findLongestIncreasingSubsequence(int arr[], int n) {
    int tails[n];
    int len = 1;
    tails[0] = arr[0];

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (arr[i] < tails[0]) {
            tails[0] = arr[i];
        } else if (arr[i] > tails[len - 1]) {
            tails[len] = arr[i];
            len++;
        } else {
            int left = 0, right = len - 1;
            while (left < right) {
                int mid = left + (right - left) / 2;
                if (tails[mid] < arr[i]) {
                    left = mid + 1;
                } else {
                    right = mid;
                }
            }
            tails[left] = arr[i];
        }
    }

    return len;
}

int main() {
    int arr[] = {3, 2, 5, 1, 4, 6};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    int longestIncreasingSubsequence = findLongestIncreasingSubsequence(arr, n);
    printf("The length of the longest increasing subsequence is %dn", longestIncreasingSubsequence);

    return 0;
}

希望以上解答对您有帮助！如果还有其他问题，请随时提问。