c语言如何表达最小树普里姆算法

C语言如何表达最小树普里姆算法

在C语言中，实现最小生成树的普里姆算法通常包括选择最小权重边、更新树中的节点、重复直到所有节点都被包括在内。选择最小权重边是实现普里姆算法的核心步骤，涉及到不断选择当前树中与外部节点连接的最小权重边并更新树。接下来将详细描述这一过程。

一、算法介绍

普里姆算法是一种用于寻找加权无向图的最小生成树的贪心算法。该算法的主要思想是从一个节点开始，逐步扩展树，每次选择权重最小的边，并且该边连接一个树内节点和一个树外节点。最终，所有节点都被包括在树内，且生成的树的总权重最小。

普里姆算法的步骤包括：

选择初始节点，并将其标记为已访问。
在所有已访问节点的相邻节点中，选择权重最小的边，并将该边连接的未访问节点标记为已访问。
重复上述步骤，直到所有节点都被访问。

二、代码实现

1、定义数据结构

首先定义图的表示方法和一些辅助数据结构。

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <stdbool.h>
#define V 5  // 图中节点的数量
int minKey(int key[], bool mstSet[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;
    for (int v = 0; v < V; v++)
        if (mstSet[v] == false && key[v] < min)
            min = key[v], min_index = v;
    return min_index;
}
void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
    printf("Edge tWeightn");
    for (int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d t%d n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

2、核心算法实现

接下来是普里姆算法的核心部分。

void primMST(int graph[V][V]) {
    int parent[V];  // 用来存储生成树
    int key[V];     // 用来选择最小权重边
    bool mstSet[V]; // 表示是否包含在最小生成树中
    for (int i = 0; i < V; i++)
        key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false;
    key[0] = 0;      // 选择第一个节点
    parent[0] = -1;  // 第一个节点是根节点
    for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = minKey(key, mstSet);
        mstSet[u] = true;
        for (int v = 0; v < V; v++)
            if (graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] < key[v])
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
    }
    printMST(parent, graph);
}

3、测试代码

最后，编写一个测试用例来验证普里姆算法的实现。

int main() {
    int graph[V][V] = {
        {0, 2, 0, 6, 0},
        {2, 0, 3, 8, 5},
        {0, 3, 0, 0, 7},
        {6, 8, 0, 0, 9},
        {0, 5, 7, 9, 0},
    };
    primMST(graph);
    return 0;
}

三、算法详解

1、初始化

在函数primMST中，首先初始化关键数组key和最小生成树集合mstSet。key数组用来存储每个节点的最小权重边，mstSet用来标记节点是否被包括在最小生成树中。起始节点的key值设为0，并将其父节点设为-1。

2、选择最小权重边

在每一次迭代中，通过函数minKey找到当前未被包括在最小生成树中的节点中key值最小的节点。这个节点被选择为下一个包括在树中的节点，并更新mstSet数组。

3、更新树中的节点

对于每一个新加入树的节点，检查其相邻节点。如果相邻节点未被包括在树中，且通过当前节点的边权重小于相邻节点的key值，则更新相邻节点的key值和父节点。

4、构建最小生成树

重复上述步骤直到所有节点都被包括在最小生成树中。最后，通过printMST函数输出最小生成树的边和对应的权重。

四、复杂度分析

普里姆算法的时间复杂度取决于选择最小权重边的方式。在上述实现中，每次选择最小权重边的操作是通过线性扫描key数组实现的，因此时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中节点的数量。

如果使用优先队列来优化选择最小权重边的操作，可以将时间复杂度降低到O(E log V)，其中E是图中边的数量。

五、总结

普里姆算法是一种经典的贪心算法，通过逐步扩展最小权重边构建最小生成树。在C语言中，普里姆算法的实现主要涉及图的表示、节点的选择和更新、以及树的构建。通过对关键步骤的详细描述，可以更好地理解和实现普里姆算法。

在实际应用中，普里姆算法可以用于网络设计、道路规划等需要最小生成树的场景。使用适当的数据结构（如优先队列）可以进一步优化算法的性能，以适应更大规模的图。