js如何计算正态分布

在JavaScript中计算正态分布的方法主要包括利用数学公式实现、使用现有库函数、结合数值方法。其中，使用数学公式实现是最基本的方法，我们可以通过正态分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）来进行计算。下面我们详细探讨如何在JavaScript中实现这些方法。

一、利用数学公式实现正态分布

1、正态分布的概率密度函数（PDF）

正态分布的概率密度函数公式如下：

[ f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} ]

其中，(mu) 是均值，(sigma) 是标准差。

在JavaScript中实现该函数可以如下：

function normalPDF(x, mu, sigma) {
    const sqrtTwoPi = Math.sqrt(2 * Math.PI);
    const exponent = -((x - mu)  2) / (2 * sigma  2);
    return (1 / (sigma * sqrtTwoPi)) * Math.exp(exponent);
}

2、正态分布的累积分布函数（CDF）

累积分布函数的计算要复杂一些，可以使用数值积分或近似方法。这里我们使用的是近似公式，如埃尔芬公式（Error Function, erf）。

function erf(x) {
    // Constants
    const a1 =  0.254829592;
    const a2 = -0.284496736;
    const a3 =  1.421413741;
    const a4 = -1.453152027;
    const a5 =  1.061405429;
    const p  =  0.3275911;
    // Save the sign of x
    const sign = (x >= 0) ? 1 : -1;
    x = Math.abs(x);
    // A&S formula 7.1.26
    const t = 1.0 / (1.0 + p * x);
    const y = 1.0 - (((((a5 * t + a4) * t) + a3) * t + a2) * t + a1) * t * Math.exp(-x * x);
    return sign * y;
}
function normalCDF(x, mu, sigma) {
    return 0.5 * (1 + erf((x - mu) / (sigma * Math.sqrt(2))));
}

二、使用现有库函数

1、math.js

math.js 是一个强大的数学库，可以简化复杂的数学计算。

const math = require('mathjs');
function normalPDF(x, mu, sigma) {
    return math.exp(-0.5 * math.pow((x - mu) / sigma, 2)) / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi));
}
function normalCDF(x, mu, sigma) {
    return 0.5 * (1 + math.erf((x - mu) / (sigma * math.sqrt(2))));
}

2、jstat.js

jstat.js 是一个专门用于统计计算的库，提供了对正态分布的直接支持。

const jStat = require('jstat');
function normalPDF(x, mu, sigma) {
    return jStat.normal.pdf(x, mu, sigma);
}
function normalCDF(x, mu, sigma) {
    return jStat.normal.cdf(x, mu, sigma);
}

三、结合数值方法进行计算

在实际应用中，为了提高计算的精度和效率，通常会结合数值方法进行计算，比如数值积分、蒙特卡罗模拟等。

1、数值积分

数值积分可以用于计算累积分布函数，这里采用梯形法进行积分。

function trapezoidalIntegration(f, a, b, n) {
    const h = (b - a) / n;
    let sum = 0.5 * (f(a) + f(b));
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        sum += f(a + i * h);
    }
    return sum * h;
}
function normalCDFUsingIntegration(x, mu, sigma) {
    const f = (t) => normalPDF(t, mu, sigma);
    return trapezoidalIntegration(f, -Infinity, x, 1000);
}

2、蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟是另一种计算累积分布函数的方法，通过随机采样来估计积分值。

function monteCarloCDF(x, mu, sigma, numSamples) {
    let count = 0;
    for (let i = 0; i < numSamples; i++) {
        const sample = mu + sigma * Math.sqrt(-2 * Math.log(Math.random())) * Math.cos(2 * Math.PI * Math.random());
        if (sample <= x) {
            count++;
        }
    }
    return count / numSamples;
}

四、应用场景

1、金融领域

在金融领域，正态分布被广泛用于风险管理和期权定价等领域。通过正态分布，我们可以计算资产收益的概率分布，从而进行风险评估。

const mu = 0.05; // 平均收益率
const sigma = 0.2; // 波动率
// 计算某一收益率下的概率
const probability = normalCDF(0.1, mu, sigma);
console.log(`收益率小于10%的概率为: ${probability}`);

2、工程领域

在工程领域，正态分布用于质量控制和可靠性分析。通过正态分布，我们可以估计产品的质量水平和故障率。

const mu = 100; // 平均寿命
const sigma = 15; // 标准差
// 计算某一寿命下的概率
const probability = normalCDF(120, mu, sigma);
console.log(`产品寿命小于120小时的概率为: ${probability}`);

3、数据分析

在数据分析中，正态分布用于假设检验和数据建模。通过正态分布，我们可以对数据进行拟合和预测。

const data = [95, 85, 70, 60, 90, 80, 75];
const mean = data.reduce((a, b) => a + b) / data.length;
const variance = data.reduce((a, b) => a + (b - mean)  2, 0) / data.length;
const stdDev = Math.sqrt(variance);
// 计算某一数据点的概率
const probability = normalPDF(85, mean, stdDev);
console.log(`数据点85的概率密度为: ${probability}`);

通过上述方法，我们详细介绍了如何在JavaScript中计算正态分布，包括利用数学公式实现、使用现有库函数、结合数值方法等。希望这些内容对您理解和实现正态分布的计算有所帮助。