js如何求两个圆的两条外正切线

要在JavaScript中求两个圆的两条外正切线，可以使用几何学和数学公式来实现。 其中涉及的核心步骤包括计算两圆心之间的距离、确定切点和构建切线方程。本文将详细介绍这些步骤，并提供一个完整的代码示例。

一、两圆间的几何关系

在计算两圆的外正切线之前，首先要了解两圆之间的几何关系。设两圆的圆心坐标分别为 ((x1, y1)) 和 ((x2, y2))，半径分别为 (r1) 和 (r2)。外正切线是指与两个圆都相切且在外部的直线。

核心步骤如下：

计算圆心距离：使用欧几里得距离公式计算圆心之间的距离。
确定切点：确定两条外正切线与两圆相切的切点。
构建切线方程：通过几何关系和切点坐标构建两条切线的方程。

接下来我们详细展开描述这些步骤。

二、计算圆心距离

首先，通过欧几里得距离公式计算两圆心之间的距离 (d)：

[ d = sqrt{(x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2} ]

该距离是后续计算的基础。

三、确定切点

对于两条外正切线，每条切线在两个圆上各有一个切点。设其中一条切线在圆1的切点为 ((x1', y1'))，在圆2的切点为 ((x2', y2'))。同理，对于另一条切线也有对应的切点。

我们使用参数方程的方法来确定这些切点。假设切线与圆1相切的切点与圆心的连线在圆1的切点形成的夹角为 (theta)，则切点坐标可以表示为：

[ x1' = x1 + r1 cos(theta) ]

[ y1' = y1 + r1 sin(theta) ]

同理，切线与圆2相切的切点可以表示为：

[ x2' = x2 + r2 cos(theta) ]

[ y2' = y2 + r2 sin(theta) ]

四、构建切线方程

根据几何关系，一条直线可以用点斜式方程表示：

[ y – y1' = m (x – x1') ]

其中，(m) 为斜率。斜率可以通过两切点的坐标计算得到：

[ m = frac{y2' – y1'}{x2' – x1'} ]

通过上述公式，可以构建两条切线的方程。

五、JavaScript 实现

下面是一个完整的JavaScript实现示例：

function findTangents(x1, y1, r1, x2, y2, r2) {
    const d = Math.sqrt((x2 - x1)  2 + (y2 - y1)  2);
    if (d <= Math.abs(r1 - r2)) {
        throw new Error("No external tangents exist");
    }
    const angle = Math.acos((r1 - r2) / d);
    const baseAngle = Math.atan2(y2 - y1, x2 - x1);
    const angle1 = baseAngle + angle;
    const angle2 = baseAngle - angle;
    const x1_1 = x1 + r1 * Math.cos(angle1);
    const y1_1 = y1 + r1 * Math.sin(angle1);
    const x2_1 = x2 + r2 * Math.cos(angle1);
    const y2_1 = y2 + r2 * Math.sin(angle1);
    const x1_2 = x1 + r1 * Math.cos(angle2);
    const y1_2 = y1 + r1 * Math.sin(angle2);
    const x2_2 = x2 + r2 * Math.cos(angle2);
    const y2_2 = y2 + r2 * Math.sin(angle2);
    const slope1 = (y2_1 - y1_1) / (x2_1 - x1_1);
    const intercept1 = y1_1 - slope1 * x1_1;
    const slope2 = (y2_2 - y1_2) / (x2_2 - x1_2);
    const intercept2 = y1_2 - slope2 * x1_2;
    return [
        { slope: slope1, intercept: intercept1 },
        { slope: slope2, intercept: intercept2 }
    ];
}
const tangents = findTangents(0, 0, 1, 4, 0, 1);
console.log(tangents);

以上代码首先计算两个圆心之间的距离，然后通过几何关系确定切点，最后构建并返回两条切线的方程。可以根据需要进一步调整和优化代码，使其适应不同的应用场景。