c语言如何求亲密数

C语言如何求亲密数、理解亲密数、使用算法求解

亲密数（Amicable numbers）是一对不同的自然数，它们各自的真因子（即除了自身以外的因子）之和等于对方的数字。在C语言中求亲密数的核心步骤是：计算真因子和、判断两个数是否互为亲密数、优化算法减少计算量。下面将详细描述这些步骤，并提供代码示例和优化建议。

一、理解亲密数

亲密数是数论中的一个有趣概念。两个数A和B如果满足以下条件，则称为亲密数：

A的所有真因子（除了A本身的因子）之和等于B。
B的所有真因子之和等于A。

例如，220和284是一对亲密数。220的真因子有1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，它们的和是284；而284的真因子有1, 2, 4, 71, 142，它们的和是220。因此，220和284互为亲密数。

二、求亲密数的算法步骤

1、计算真因子和

计算一个数的真因子和是求亲密数的基础步骤。可以通过遍历从1到该数一半的所有整数，判断它们是否为该数的因子，并求和。

#include <stdio.h>
// 函数：计算一个数的真因子和
int sumOfDivisors(int num) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= num / 2; i++) {
        if (num % i == 0) {
            sum += i;
        }
    }
    return sum;
}

2、判断两个数是否互为亲密数

通过调用上述函数，计算两个数的真因子和，并进行比较，如果满足条件，则这两个数是亲密数。

// 函数：判断两个数是否为亲密数
int areAmicable(int a, int b) {
    return (sumOfDivisors(a) == b && sumOfDivisors(b) == a);
}

3、优化算法减少计算量

为了提高效率，可以在计算真因子时进行优化，比如只遍历到平方根，并通过除法找到配对因子。同时，可以缓存已计算的因子和，以避免重复计算。

#include <math.h>
// 优化后的函数：计算一个数的真因子和
int optimizedSumOfDivisors(int num) {
    int sum = 1; // 1是所有正整数的因子
    for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++) {
        if (num % i == 0) {
            if (i == num / i) {
                sum += i;
            } else {
                sum += i + num / i;
            }
        }
    }
    return sum;
}
// 使用优化后的函数判断亲密数
int areAmicableOptimized(int a, int b) {
    return (optimizedSumOfDivisors(a) == b && optimizedSumOfDivisors(b) == a);
}

三、代码实现与测试

1、完整代码示例

以下是一个完整的C语言程序示例，用于求解和测试亲密数。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 优化后的函数：计算一个数的真因子和
int optimizedSumOfDivisors(int num) {
    int sum = 1; // 1是所有正整数的因子
    for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++) {
        if (num % i == 0) {
            if (i == num / i) {
                sum += i;
            } else {
                sum += i + num / i;
            }
        }
    }
    return sum;
}
// 函数：判断两个数是否为亲密数
int areAmicableOptimized(int a, int b) {
    return (optimizedSumOfDivisors(a) == b && optimizedSumOfDivisors(b) == a);
}
// 主函数：测试亲密数
int main() {
    int a = 220, b = 284;
    if (areAmicableOptimized(a, b)) {
        printf("%d 和 %d 是亲密数。n", a, b);
    } else {
        printf("%d 和 %d 不是亲密数。n", a, b);
    }
    return 0;
}

2、测试与结果分析

运行上述程序，可以得到结果：220和284是亲密数。通过该程序，可以进一步测试其他数对，验证它们是否为亲密数。

四、扩展与优化

1、批量查找亲密数

为了找出一定范围内的所有亲密数对，可以进行批量计算，并存储和输出结果。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 优化后的函数：计算一个数的真因子和
int optimizedSumOfDivisors(int num) {
    int sum = 1; // 1是所有正整数的因子
    for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++) {
        if (num % i == 0) {
            if (i == num / i) {
                sum += i;
            } else {
                sum += i + num / i;
            }
        }
    }
    return sum;
}
// 函数：判断两个数是否为亲密数
int areAmicableOptimized(int a, int b) {
    return (optimizedSumOfDivisors(a) == b && optimizedSumOfDivisors(b) == a);
}
// 主函数：查找一定范围内的所有亲密数对
int main() {
    int limit = 10000; // 查找范围
    for (int i = 2; i < limit; i++) {
        int j = optimizedSumOfDivisors(i);
        if (j > i && j < limit && areAmicableOptimized(i, j)) {
            printf("%d 和 %d 是亲密数。n", i, j);
        }
    }
    return 0;
}

2、使用缓存优化

为了进一步优化，可以使用缓存机制，存储已计算的真因子和，避免重复计算。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define LIMIT 10000
int cache[LIMIT] = {0};
// 优化后的函数：计算一个数的真因子和
int optimizedSumOfDivisors(int num) {
    if (cache[num] != 0) {
        return cache[num];
    }
    int sum = 1; // 1是所有正整数的因子
    for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++) {
        if (num % i == 0) {
            if (i == num / i) {
                sum += i;
            } else {
                sum += i + num / i;
            }
        }
    }
    cache[num] = sum;
    return sum;
}
// 函数：判断两个数是否为亲密数
int areAmicableOptimized(int a, int b) {
    return (optimizedSumOfDivisors(a) == b && optimizedSumOfDivisors(b) == a);
}
// 主函数：查找一定范围内的所有亲密数对
int main() {
    for (int i = 2; i < LIMIT; i++) {
        int j = optimizedSumOfDivisors(i);
        if (j > i && j < LIMIT && areAmicableOptimized(i, j)) {
            printf("%d 和 %d 是亲密数。n", i, j);
        }
    }
    return 0;
}

通过上述扩展和优化，可以高效地在一定范围内找到所有亲密数对，并显著减少计算量。

五、总结

在C语言中求解亲密数的关键步骤包括：计算真因子和、判断两个数是否互为亲密数、优化算法以提高效率。通过理解亲密数的定义和性质，采用适当的算法和优化策略，可以有效地解决亲密数问题。希望本文所述的方法和代码示例能为读者提供有用的参考。

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