交叉小波平方相干性（Cross-wavelet coherence）是一种用于分析两个时间序列在频域和时间域上相关性的强度的工具。它可以揭示两个序列之间在不同时期和不同频率上的相互影响。计算交叉小波平方相干性的基本步骤包括：对两个时间序列进行小波变换、计算交叉小波谱、计算小波相干性。
交叉小波平方相干性的计算通常基于连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT），这需要选择一个适当的小波基，像Morlet小波由于其在时间和频率上的良好局部化特性而被广泛使用。首先，对两个信号分别进行CWT得到各自的小波系数，然后利用这些系数计算其交叉小波谱。交叉小波谱是两个小波系数逐点复数共轭相乘的结果。小波平方相干性则是归一化的交叉小波谱，具体地，它是交叉小波谱除以各自功率谱的乘积，其值在0到1之间变化，接近1时表示两个序列在对应频率和时间上具有较高的相关性。
在进行交叉小波平方相干性的计算时，还需要考虑信号的边界效应和选择适当的小波参数。相关的统计显著性检验可以帮助判定相干性是否是偶然发生的，而不是两个序列有实质性的相关性。
一、准备阶段
在开始编程之前，你需要安装并加载适当的R语言包，如wavelets或biwavelet，这些包中包含了执行小波变换和交叉小波分析的函数。
# 安装和加载小波分析需要的包
install.packages("wavelets")
library(wavelets)
install.packages("biwavelet")
library(biwavelet)
二、时间序列的小波变换
接下来，你需要为你的时间序列数据进行小波变换。利用连续小波变换（CWT）函数，你可以获得各自序列的小波系数。确保您的时间序列数据已经被读入R环境，假定名为timeseries1和timeseries2。
# 对第一个时间序列进行小波变换
wavelet1 <- cwt(timeseries1,
family="Morlet",
param=list(siglvl=0.05, freq=1/period, dj=dj))
对第二个时间序列进行小波变换
wavelet2 <- cwt(timeseries2,
family="Morlet",
param=list(siglvl=0.05, freq=1/period, dj=dj))
三、计算交叉小波谱和相干谱
计算交叉小波谱即两个小波系数矩阵的复数共轭逐点乘积。然后进一步计算小波相干谱。
# 计算交叉小波谱
crossWavelet <- wavelet1$conj * wavelet2
计算小波功率谱
powerSpectrum1 <- modulus(wavelet1)^2
powerSpectrum2 <- modulus(wavelet2)^2
计算小波相干谱
coherenceSpectrum <- abs(crossWavelet)^2 / (powerSpectrum1 * powerSpectrum2)
四、分析相干性结果
在得到小波相干谱之后，我们可以根据此结果分析两个时间序列在不同频率和时间上的相干性。高相干性值表明两个序列在特定时间和频率上紧密相关。
# 绘制小波相干图
plot(coherenceSpectrum, type = "contour")
确保对结果进行解释和统计意义上的检验，以确保观测到的相干性是显著的。通过适当的热图或等高线图可视化交叉小波平方相干性，帮助理解两个时间序列的动态关系和相互依存。
五、显著性检验
对于相干性结果，需要进行显著性检验来确保结果的可靠性。一般通过随机相位重排方法来生成显著性水平。
# 计算显著性水平
phases <- phase.randomisation(timeseries1, timeseries2, n.surr = 1000)
sigLevel <- phases$sig90
添加到图上
contour(sigLevel, add = TRUE)
显著性检验是小波分析中的一个重要步骤，它可以帮助我们区分真实的相干性信号和背景噪声。
六、结果解释与应用
最后，解释分析结果在实际应用中的意义。这可能涉及到识别不同时间尺度上可能存在的周期性、趋势等，并在此基础上对时间序列进行预测或者制定相应的策略。
相关问答FAQs：
1. 什么是交叉小波平方相干性？如何计算？
交叉小波平方相干性是用来衡量两个信号之间的线性关联程度的一种方法。它在小波分析领域中广泛应用。计算交叉小波平方相干性可以通过以下步骤：
- 首先，将两个信号分别进行小波变换，得到对应的小波系数。
- 其次，计算每个小波尺度上的小波系数的互相关系数。
- 然后，将互相关系数的平方加权平均，得到交叉小波平方相干性。
2. 在R语言中如何进行交叉小波分析并计算平方相干性？
在R语言中，你可以使用wavelets包来进行交叉小波分析并计算平方相干性。下面是一个简单的示例代码：
# 导入wavelets包
library(wavelets)
# 假设你有两个信号x和y，分别存储在向量x和y中
# 进行小波变换
x.wavelet <- dwt(x, filter="db4")
y.wavelet <- dwt(y, filter="db4")
# 计算小波系数的互相关系数
cross.correlation <- crosscorr(x.wavelet$coefficients, y.wavelet$coefficients)
# 计算平方相干性
coherence <- abs(cross.correlation)^2
# 可选：可视化平方相干性
plot(coherence, type="l", xlab="尺度", ylab="平方相干性")
3. 交叉小波平方相干性有什么应用？
交叉小波平方相干性在信号处理和数据分析中有着广泛的应用。例如，它可以用于研究两个信号之间的关联性，判断它们是否存在某种关联关系。在金融领域，交叉小波平方相干性可以用于分析不同金融时间序列之间的相关性，帮助投资者制定投资策略。在医学领域，它可以用于分析脑电图信号之间的关联性，探索人脑活动的特征。总之，交叉小波平方相干性是一种强大的工具，可以揭示不同信号之间的复杂关系。
