素数表，又常称为质数表，是指由小到大罗列素数的序列。生成素数表的算法有多种，包括暴力法、埃拉托斯特尼筛法（埃式筛法）、欧拉筛法、厄拉多塞筛法（又称轮式筛法）等。其中埃拉托斯特尼筛法是最经典的素数生成方法。该算法通过剔除小于某一自然数N的所有合数来得到素数表。其核心思想在于：首先将2到N之间的所有自然数排列出来，2是素数，则将2的倍数全部划去；下一个未被划去的数是3，也是素数，则再将3的倍数全部划去；如此继续下去，直至√N。剩下的便是素数。埃拉托斯特尼筛法简单高效，在计算机科学中应用广泛。然而，它的空间效率并不是最优的，这启发了后续其它算法的发展。
一、暴力法
暴力法是生成素数最直观的方法，即对每一个数都检查其是否为素数。暴力法可以通过两个嵌套循环实现，外循环遍历所有大于2的自然数，内循环则用于检查当前数是否被更小的数整除。具体来说：
对每一个大于2的自然数i进行测试，从2测试到i-1，检查i是否能被它们中的任何一个整除。如果存在一个整数可以整除i，则i不是素数。如果i无法被任何小于自身的数整除，那么i是素数。
这种方法虽然概念上简单，但效率极低，特别是数的范围较大时，因为每检查一个数是否为素数都需要进行多次不必要的除法操作。
二、埃拉托斯特尼筛法
埃拉托斯特尼筛法是一种更加高效的生成素数表的方法。其步骤如下：
首先，初始化一个布尔数组，长度为N+1，用于记录每个数的素数状态。将数组所有元素初始化为true，代表所有数先假设为素数。然后，从2开始遍历这个数组，每次找到一个素数后，就将其所有的倍数标记为非素数（即数组对应位置为false）。
这种方法的时间复杂度可以描述为O(n log log n)，空间复杂度为O(n)。相较于暴力法，大大减少了不必要的计算，尤其是对于大量连续整数生成素数表时更是高效。
三、欧拉筛法
欧拉筛法，又称线性筛法，是埃拉托斯特尼筛法的改进版，由著名数学家欧拉提出。它在埃式筛法的基础上减少了重复筛选的操作，使得每个合数只被其最小素数因子筛除一次。因此，其运行速度更快，且对于生成较大素数表时，性能提升显著。
步骤如下：
初始化一个空的素数列表和一个布尔数组，布尔数组的目的与埃式筛法相同。遍历每个大于2的自然数i，如果i在布尔数组中标为true，则将其添加到素数列表。接着，遍历素数列表中的每个素数p，如果pi小于N并且p是i的最小素因数，那么将pi在布尔数组中标记为false。
欧拉筛法的时间复杂度为O(n)，保持了较好的空间效率。
四、厄拉多塞筛法（轮式筛法）
厄拉多塞筛法是基于埃拉托斯特尼筛法的进一步优化。其创新在于不是简单地筛选2的倍数，而是建立在已知素数的基础上执行筛选过程。筛法的核心在于利用已经找到的素数，逐层筛除合数。
具体操作步骤是：
首先生成一个小范围的素数表，然后利用这个表的素数去筛选更大范围的数。通过跳过一些明显的非素数（例如偶数和已知素数的倍数），可以减少不必要的检查，从而提高筛选的效率。
厄拉多塞筛法在保持埃拉托斯特尼筛法优良时间复杂度的同时，进一步减少重复操作，提升了筛选的速率。
相关问答FAQs：
问题一：素数表是什么？有什么用途？
素数表是一个列出从小到大的质数（素数）的列表。质数是指只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。素数表的用途包括数论研究、密码学、计算机编程等领域。
问题二：生成素数表的常用算法有哪些？
- "试除法"：从2开始逐个尝试整除待测数，若整除则不是素数。这种算法的缺点是效率较低，尤其是对于较大的数。
- "埃拉托斯特尼筛法"：从2开始遍历到待测数的平方根，将能被当前数整除的数排除掉。这种算法在一定范围内的素数表生成效率较高。
- "线性筛法"：结合了试除法和埃拉托斯特尼筛法的优点，可以在线性时间复杂度内生成素数表。它的主要思想是遍历到一个数时，将其与已经找到的质数相乘，然后把得到的数标记为非素数。
问题三：如何优化生成素数表的算法效率？
- 利用数学定理：如质数定理、费马小定理等，可以通过这些定理来辅助进行素数表的生成和优化。
- 利用并行计算：将任务分配给多个处理器或计算机，同时进行生成素数表的操作，从而提高算法效率。
- 剪枝策略：如埃拉托斯特尼筛法中，可以根据当前数的情况判断是否进行进一步的筛除操作，从而减少不必要的计算量，提高算法效率。
- 使用空间换取时间：可以使用较大的内存空间来存储已经找到的质数，减少重复计算和判断的次数，提高算法效率。
