为什么给定节点个数的二叉树个数为卡特兰数

给定节点个数的二叉树个数为卡特兰数的原因：卡特兰数定义恰好符合二叉树的计数问题，即组成二叉树的各个节点的顺序并不影响树的形态，只有节点之间的父子关系才是关键因素，卡特兰数的定义本质上就是基于递归树结构的，正好符合上述递归式的求解方式。

一、给定节点个数的二叉树个数为卡特兰数的原因

卡特兰数定义恰好符合二叉树的计数问题，即组成二叉树的各个节点的顺序并不影响树的形态，只有节点之间的父子关系才是关键因素，卡特兰数的定义本质上就是基于递归树结构的，正好符合上述递归式的求解方式。

对于n个节点的二叉树，我们把这n个都当作父亲节点，一定可以补充（n+1）个叶子节点，使之成为一棵（2n+1）个节点的完全二叉树。我们把原来的二叉树称作父亲树，即全是父亲节点的树。一棵父亲树一定与一棵完全二叉树一一对应。

对于一棵完全二叉树，分为叶子节点和父亲节点。首先，一棵父亲树到完全树加叶子节点只有一种方式，不会出现一颗父亲树对应多种完全树，所以这是一个映射。任意一棵完全二叉树，删除所有叶子节点都是一颗父亲树。所以父亲树到完全二叉树是满射。对于两个不同的父亲树，添加叶子后的完全二叉树一定不同。所以父亲树到完全二叉树是单射。所以父亲树到完全二叉树是双射。完全二叉树的数量与父亲树的数量是相同的。那么考虑（2n+1）个节点的完全二叉树的数量。根节点是一定的，思考剩下的2n个节点。这2n个节点一定是n个左儿子（儿子节点，不要看成叶子节点），n个右儿子。做不包括树根的先序遍历。节点是左儿子为0，右儿子为1。那么结果就是一个2*n个数的数列，其中n个0，n个1。由于是先序遍历，前缀0一定比前缀1多，即为卡特兰数。完全二叉树与先序遍历一一对应。所以完全树的数量为卡特兰数。

二、卡特兰数简介

卡特兰数是组合数学中一个常出现于各种计数问题中的数列。以中国蒙古族数学家明安图和比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名，其前几项为（从第0项开始）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

它的原理为：

设h(n)为catalan数的第n项，令h(0)=1，h(1)=1，catalan数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n≥2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2；h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)；h(n+1)=h(n)*(4*n+2)/(n+2)。递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

递推关系的另类解为：h(n)=C(2n,n) – C(2n,n-1) (n=0,1,2,…)

Java应用：

import java.util.*;  
import java.math.BigInteger;
   
public class Catalan {  //求卡特兰数
 
    public static void main(String[] args){ 
  
    int numberOfCatalan = 101; //要求多少个卡特兰数
 
    BigInteger[] digis = new BigInteger[numberOfCatalan];
    
    digis = generateCatalan(numberOfCatalan);  
       
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            
    int number;
     
    while(true) {  
        number = scanner.nextInt();  
        if(number == -1) {
            break;  
            String answer = digis[number].toString();  
            System.out.println(answer);  
            }
        }  
    } 
     
     
static BigInteger[] generateCatalan(int numberOfCatalan) {
   //产生卡特兰数
    BigInteger digis[] = new BigInteger[numberOfCatalan + 1]; 
  
    BigInteger x = new BigInteger("1"); //名列前茅个卡特兰数为1
  
    digis[1] = x;  
   
    int y = 0;
    
    int z = 0;  
          
        for(int counter = 2; counter <= numberOfCatalan; ++ counter) {  
  
            y = 4 * counter - 2;  
 
            z = counter + 1;  
       
            digis[counter] = digis[counter-1].multiply(new BigInteger("" + y));  
            digis[counter] = digis[counter].divide(new BigInteger("" + z));  
        }
        return digis;
    }
}  
//使用递归的方式解决卡特兰数
public static double CatalanNumber(int n) {   
    if (n == 1) {       
        return 1;    
    } else { 
        return CatalanNumber(n - 1) * 2 * (2 * n - 1) / (n + 1);   
    }
}
public static void main(String[] args) {   
    for (int i = 1; i <= 50; i++) {    
        System.out.println(i + "'s Catalan Number is " + CatalanNumber(i));   
    }
}