辗转相除法，也被称为欧几里得算法，是用于计算两个正整数a和b的最大公约数的一种方法。其证明基于以下两个关键点：两数相减法的基本性质、辗转相除的递归特性。首先，假设有两个整数a和b（a > b），我们可以将a除以b得到余数r，那么a和b的最大公约数与b和r的最大公约数相等。这是因为a可以表示为a = qb + r，如果有一个数是a和b的约数，那么它同时也是r的约数，反之亦然。通过不停地对b和r进行相同操作，我们最终会得到两个数的余数为0，此时非零余数即为原两数的最大公约数。
一、辗转相除法的概念和基础
辗转相除法是查找两个正整数最大公约数的老旧而有效的算法，由古希腊数学家欧几里得首次提出。若要求得两个正整数a和b（假设a > b）的最大公约数，我们可以把a除以b，得到余数r（a = qb + r，其中q是商数）。根据欧几里得算法，a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。因此，我们可以用b代替a，用r代替b，重复这个过程，即用b除以r，再取余数，直到余数为零。当余数为零时，最后的除数即为所求的最大公约数。
为了进一步证明这个算法的有效性，我们可以将其分解为数学推导和性质验证两个部分。
二、欧几里得算法的数学推导
我们假设有两个正整数a和b（a > b），根据辗转相除法，我们可以得到以下等式：
$$a = qb + r \quad (0 \leq r < b)$$
对于任意整数x，如果它是a和b的公约数，那么有：
$$a = mx, \quad b = nx$$
其中m和n为整数。由于r = a – qb，那么r也可以表示为：
$$r = a – qb = mx – nxq = (m-nq)x$$
这说明x也是b和r的公约数，因此a和b的公约数也是b和r的公约数。
反过来，如果x是b和r的公约数，我们已经有了$$b = nx, \quad r = (m-nq)x$$
由于a = qb + r，可以推出：
$$a = qb + r = qnx + (m-nq)x = (m+q(n-q))x$$
所以x也是a和b的公约数。综上所述，a和b的任一公约数也是b和r的公约数，反之亦然。这证明了用辗转相除法得出的两个数的最大公约数相等的说法。
三、递归性证明
通过以上数学推导，我们知道通过辗转相除法每次减小的新数对（b, r）的最大公约数仍然是原始数对（a, b）的最大公约数。这个过程可以递归地应用，直至余数r为零。
例如，如果我们有新一轮的除法 $$b = qr' + r''$$ 并且r' 大于 r''，那么b和r'的最大公约数也就是b和r''的最大公约数，因为他们都是r和r'的最大公约数。当我们递归执行这个除法过程，最终我们会得到一个余数r''=0，此时对应的除数就是原始数对的最大公约数。即如果某一步余数为0，那么最后的除数就是a和b的最大公约数。
四、算法的结束条件和最终证明
在辗转相除法的递归过程中，如果在某一步我们得到余数为0，那么就会得出结论。由于每次操作都会得到一个更小的正整数，这保证了算法的有限步骤之内一定会得到一个余数为0的情形。这是因为正整数集合是良序的，即每个非空子集都有一个最小元素。由于正整数序列（余数序列）在算法操作中单调递减，它必须在有限步内终止。
辗转相除法的证明不仅基于对公约数的观察，而且还依赖于算法的递归性和有限终止性。这种方法实用且高效，在数学领域和现代编程实践中广泛应用于计算最大公约数。
综上所述，辗转相除法的算法正确性已得到证明。通过将最大公约数问题不断简化为更小的数对的最大公约数问题，我们最终能够找到初始数对的最大公约数。
相关问答FAQs：
1. 辗转相除法（欧几里德算法）是如何工作的？
辗转相除法，也称为欧几里德算法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的算法。它基于以下原理：如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么a和b的最大公约数就是b。如果a不能被b整除，那么a和b的最大公约数就是a除以b的余数r与b的最大公约数。
2. 如何用辗转相除法证明两个整数的最大公约数？
假设我们要找到两个整数a和b的最大公约数。我们可以用辗转相除法的步骤来证明它：
- 用b除以a，并得到余数r。
- 如果r等于0，则a就是最大公约数。
- 如果r不等于0，则用a除以r，并得到新的余数r'。
- 重复上述步骤，直到得到余数为0为止。此时，被除数就是最大公约数。
3. 辗转相除法和其他求最大公约数的方法相比有哪些优点？
辗转相除法相较于其他求最大公约数的方法具有如下优点：
- 算法简单易懂，易于实现。
- 算法的时间复杂度相对较小，效率较高。
- 可以处理任意大小的整数，不受数值范围限制。
- 可以通过迭代的方式进行计算，节省了存储空间。
总体而言，辗转相除法是一种简单而高效的求最大公约数的方法，被广泛应用于数学和计算机科学领域。
