摩尔投票算法 是一种用于寻找数组中出现次数超过数组长度一半的元素（即“多数元素”）的高效算法。该算法基于一个假设：每次将两个不同的元素「抵消」，到最后剩下的元素有可能是出现次数超过一半的那个（如果存在的话）。算法进行单次扫描，使用两个变量：一个是候选者（candidate），一个是其出现的次数（count）。开始时，任选数组中的一个元素作为候选者，遍历数组，遇到与候选者相同的元素，计数加一；遇到不同的元素，计数减一。当计数降到零时，选择遇到的下一个元素作为候选者，重新计数。遍历完数组后，候选者即为所求的多数元素，但还需要进行最后一次检验，确保这个候选者的出现次数真的超过了一半。
接下来，我们详细解析摩尔投票算法，并给出示例和代码实现。
一、算法原理理解
摩尔投票算法是由Robert S. Boyer和J Strother Moore在1981年提出的，适用场景是寻找多数元素。该算法的思路类似于多数票选系统，其中的关键点是：
- 配对阶段：PAIrs different elements and essentially removes them from the consideration set.
- 计数阶段：Current candidate is counted up against the remaining elements.
配对阶段
在这个阶段，算法遍历数组，通过配对和消除不同的元素对。设想有一个候选者candidate和一个计数器count，开始时，选取数组中第一个元素作为候选者，计数器设为1。对于接下来的每一个元素，如果与当前候选者相同，则计数器加1；如果不同，则计数器减1。一旦计数器到达0，就意味着当前候选者与其他不同元素完全抵消掉了，此时需要选择下一个当前元素作为新的候选者，并重置计数器为1。这一过程会继续，直到数组遍历完成。
计数阶段
配对阶段结束后，得到的候选者虽然有可能是多数元素，但也可能不是。因为在配对过程中，即使是多数元素也可能与其他元素抵消。因此，在最终候选者选取后，需要再次遍历数组，确定这个候选者的计数是否确实超过数组长度的一半。
二、算法过程举例
以数组[3, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 4]为例。
- 初始候选者为3，计数为1。
- 遇到下一个元素3，与候选者相同，计数增加到2。
- 遇到元素4，与候选者不同，计数减少到1。
- 遇到元素2，计数减少到0，候选者变更为下一个元素4，计数重置为1。
- 以此类推，最终候选者确定为4。
然后，在计数阶段确认4的出现次数是否真的超过一半。在这个例子中，4出现5次，超过了数组长度的一半，因此确定4是多数元素。
三、代码实现
下面给出摩尔投票算法的一个简化版Python代码示例：
def majorityElement(nums):
candidate = count = 0
for num in nums:
if count == 0:
candidate, count = num, 1
elif candidate == num:
count += 1
else:
count -= 1
return candidate if nums.count(candidate) > len(nums) // 2 else None
四、算法正确性分析
摩尔投票算法的正确性 建立在两个关键的事实上：
- 多数元素的定义是其出现次数超过总数的一半。
- 因此，如果我们有一个计数器，表示当前候选者的‘净’出现次数（当前候选者的出现次数减去所有其他元素的出现次数），那么在算法的配对阶段结束时，如果存在多数元素，该元素是唯一一个能使计数器非零的候选者。
算法的美妙之处在于它以线性时间复杂度 和 常数空间复杂度 完成了任务的挑战。 因为整个过程中，我们只需遍历列表一次，且只用到一个额外的candidate变量和一个count变量。
总的来说，摩尔投票算法是解决这类问题的强大工具，在数据流太大以至于不能存入内存时尤其有用。正确理解和实现此算法，能够在众多面试题目中突显求职者的算法能力和编程素养。
相关问答FAQs：
什么是摩尔投票算法？
摩尔投票算法是一种用于在一组元素中查找出现次数超过一半的元素的算法。它基于摩尔投票原则，即在每一轮投票过程中，将两个不同的元素进行抵消，最终剩下的元素就可能是出现次数最多的元素。
如何应用摩尔投票算法？
在应用摩尔投票算法时，我们可以使用一个计数器来记录当前选定的候选元素及其出现次数。遍历整个数组，如果当前元素与候选元素相同，则计数器加一；如果不同，则计数器减一。如果计数器减到零，则更换候选元素为当前元素。最终剩下的候选元素就是出现次数超过一半的元素。
摩尔投票算法的优势是什么？
摩尔投票算法的一个主要优势是其时间复杂度为O(n)，其中n是数组的长度。它使用了一个非常简单的思想，只需遍历一次数组即可找到出现次数超过一半的元素。此外，它的空间复杂度也非常低，只需常数级别的空间。
值得注意的是，摩尔投票算法在使用时应确保数组中至少存在一个出现次数超过一半的元素，否则算法可能无法找到正确的结果。
