完全二叉树为什么非常适合顺序存储结构

完全二叉树非常适合顺序存储结构的原因：完全二叉树是一种特殊二叉树，它保证所有叶子节点都在最下层，而且除了最下一层之外，其他层的节点都被填满，如果最下层不满，也必须沿着左侧连续添加节点。

一、完全二叉树非常适合顺序存储结构的原因

完全二叉树非常适合顺序存储结构的原因：完全二叉树是一种特殊二叉树，它保证所有叶子节点都在最下层，而且除了最下一层之外，其他层的节点都被填满，如果最下层不满，也必须沿着左侧连续添加节点。

一般情况下，如果将树的结点从上到下，每一层从左到右从1开始挨个编号，那么结点 i 的左孩子就是2i，右孩子就是2i+1，将这个规律反映到顺序存储中。我们可以根据数组的下标i也能找到左孩子（2i）和右孩子（2I+1），前提是数组下标 i=0位丢弃不用，从i=1开始存储树的编号为1的根结点，以此类推。所以，这样即使是将一棵树顺序存储到了一个一维数组中，结点 i 的左孩子就是2i，右孩子就是2i+1这套公式照样能够使用。

顺序存储结构可以用一个一维数组来实现，而完全二叉树的结构固定，数组的大小也是固定的。这种数组的实现方式不需要使用指针等引用类型，因此占用空间更小，访问速度更快。顺序存储的特点是连续的内存块，可以充分利用 CPU 缓存行的特性，减少一次访问需要多次跳跃的情况，因此顺序存储的数组访问速度更快。

运用完全二叉树的结构特点，可以通过下标计算父子节点的位置，大大简化了对树结构的操作。下标的计算公式是：对于节点i，它的左子节点下标为2i，右子节点下标为2i+1，父节点下标为i/2（向下取整），这些计算都可以通过位运算来实现，比加减乘除等运算更快。

由于完全二叉树除了最后一层可能不满，其他所有层都是满的，因此可以确保一个长度为 N 的完全二叉树只需要 2logN 表示。这也意味着在存储一个有 n 个节点的树时，使用数组只需要分配 2n 的空间，但是使用链表需要分配 n 个节点的空间，空间浪费很多。

二、完全二叉树简介

一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。如果对满二叉树的结点进行编号，约定编号从根结点起, 自上而下，自左而右。则深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。从满二叉树和完全二叉树的定义可以看出，满二叉树是完全二叉树的特殊形态，即如果一棵二叉树是满二叉树，则它必定是完全二叉树。

完全二叉树代码实现：

#include <iostream>
#include <queue>
 
using namespace std;
 
template <class T>
struct TreeNode
{
    T data;
    TreeNode<T> *left;
    TreeNode<T> *right;
    TreeNode(const T &x) : data(x),
                           left(NULL),
                           right(NULL) {}
};
template <class T>
bool IsComplete(TreeNode<T> *root)
{
    //1.树为空，返回错误
    if (root == NULL)
    {
        return false;
    }
    //2.树不为空
    queue<TreeNode<T> *> q;
    q.push(root);
    while (!q.empty())
    {
        TreeNode<T> *较好 = q.front();
        //2.1如果该节点两个孩子都有，则直接pop
        if (较好->left && 较好->right)
        {
            q.pop();
            q.push(较好->left);
            q.push(较好->right);
        }
        //2.2如果该节点左孩子为空，右孩子不为空，则一定不是完全二叉树
        if (较好->left == NULL && 较好->right)
        {
            return false;
        }
        //2.3如果该节点左孩子不为空，右孩子为空或者该节点为叶子节点，则该节点之后的所有结点都是叶子节点
        if ((较好->left && 较好->right == NULL) || (较好->left == NULL && 较好->right == NULL))
        {
                        if (NULL != 较好->left && NULL == 较好->right) 
                        {
                            q.push(较好->left);    
                        }
            q.pop(); //则该节点之后的所有结点都是叶子节点
            while (!q.empty())
            {
                较好 = q.front();
                if (较好->left == NULL && 较好->right == NULL)
                {
                    q.pop();
                }
                else
                {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }
    }
    return true;
}
 
//满二叉树
void test1()
{
    //       1
    //   2       3
    // 4    5  6   7
    TreeNode<int> *node1 = new TreeNode<int>(1);
    TreeNode<int> *node2 = new TreeNode<int>(2);
    TreeNode<int> *node3 = new TreeNode<int>(3);
    TreeNode<int> *node4 = new TreeNode<int>(4);
    TreeNode<int> *node5 = new TreeNode<int>(5);
    TreeNode<int> *node6 = new TreeNode<int>(6);
    TreeNode<int> *node7 = new TreeNode<int>(7);
    node1->left = node2;
    node1->right = node3;
    node2->left = node4;
    node2->right = node5;
    node3->left = node6;
    node3->right = node7;
    cout << IsComplete<int>(node1) << endl;
}
 
//二叉树为空
void test2()
{
    cout << IsComplete<int>(NULL) << endl;
}
 
//3.二叉树不为空，也不是满二叉树，遇到一个结点左孩子为空，右孩子不为空
void test3()
{
    //       1
    //   2       3
    // 4    5      7
    TreeNode<int> *node1 = new TreeNode<int>(1);
    TreeNode<int> *node2 = new TreeNode<int>(2);
    TreeNode<int> *node3 = new TreeNode<int>(3);
    TreeNode<int> *node4 = new TreeNode<int>(4);
    TreeNode<int> *node5 = new TreeNode<int>(5);
    TreeNode<int> *node7 = new TreeNode<int>(7);
    node1->left = node2;
    node1->right = node3;
    node2->left = node4;
    node2->right = node5;
    node3->right = node7;
    cout << IsComplete<int>(node1) << endl;
}
 
//4.二叉树不为空，也不是满二叉树，遇到叶子节点,则该叶子节点之后的所有结点都为叶子节点
void test4()
{
    //        1
    //    2       3
    // 4    5
    TreeNode<int> *node1 = new TreeNode<int>(1);
    TreeNode<int> *node2 = new TreeNode<int>(2);
    TreeNode<int> *node3 = new TreeNode<int>(3);
    TreeNode<int> *node4 = new TreeNode<int>(4);
    TreeNode<int> *node5 = new TreeNode<int>(5);
    node1->left = node2;
    node1->right = node3;
    node2->left = node4;
    node2->right = node5;
    cout << IsComplete<int>(node1) << endl;
}
 
//4.二叉树不为空，也不是满二叉树，遇到左孩子不为空，右孩子为空的结点，则该节点之后的所有结点都为叶子节点
void test5()
{
    //        1
    //    2       3
    // 4    5   6
    TreeNode<int> *node1 = new TreeNode<int>(1);
    TreeNode<int> *node2 = new TreeNode<int>(2);
    TreeNode<int> *node3 = new TreeNode<int>(3);
    TreeNode<int> *node4 = new TreeNode<int>(4);
    TreeNode<int> *node5 = new TreeNode<int>(5);
    TreeNode<int> *node6 = new TreeNode<int>(6);
    node1->left = node2;
    node1->right = node3;
    node2->left = node4;
    node2->right = node5;
    node3->left = node6;
    cout << IsComplete<int>(node1) << endl;
}
 
int main()
{
    test1();
    /*test2();*/
    /*test3();*/
    /*test4();*/
    /*test5();*/
    return 0;
}