卡尔曼滤波是一种递归的最优估计方法，主要用于估计线性高斯系统的状态。其核心理由包括：1.线性系统和高斯噪声的结合；2.高斯分布的闭合性；3.最优性质的要求；4.计算效率和实用性；5.线性化的局限性。当卡尔曼滤波应用于高斯分布时，其结果具有最优性，但在非高斯环境中可能不再是最优的。
1.线性系统和高斯噪声的结合
卡尔曼滤波器设计的初衷是处理线性系统中受到高斯噪声影响的状态估计。在这样的场景下，卡尔曼滤波表现出色，因为它可以利用线性模型和高斯分布的特性，给出最优的状态估计。
2.高斯分布的闭合性
高斯分布在各种线性操作下具有闭合性。这意味着，当两个高斯随机变量相加或乘以常数时，其结果仍然是高斯分布。这一性质使得卡尔曼滤波在每次迭代时仍能保持高斯形式，简化了计算和更新。
3.最优性质的要求
卡尔曼滤波在给定的模型和噪声统计信息下，为线性高斯系统提供了最优的状态估计。如果系统或噪声的性质偏离了线性和高斯，滤波器的性能可能会受到影响，不再保证最优性。
4.计算效率和实用性
由于高斯分布的闭合性和简洁的形式，卡尔曼滤波在实际应用中具有较高的计算效率。而非高斯分布可能需要复杂的计算或近似方法，降低了实用性。
5.线性化的局限性
当系统或观测函数是非线性的，通常采用线性化技术使其适用于卡尔曼滤波。然而，这种线性化可能导致估计误差增大，特别是在严重非线性的场景下。
常见问答
- 问题：卡尔曼滤波在非线性或非高斯环境中是否完全无法使用？
- 答案：不完全是。虽然传统的卡尔曼滤波主要为线性高斯系统设计，但有扩展的卡尔曼滤波技术，如扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF），可以处理非线性系统。但对于非高斯分布，可能需要采用其他的滤波方法或近似技术。
- 问题：为什么说高斯分布的闭合性是卡尔曼滤波的一个关键特点？
- 答案：高斯分布的闭合性意味着在各种线性操作下，其结果仍然是高斯分布。这使得卡尔曼滤波在每次迭代时可以保持其高斯形式，简化了状态更新和估计的计算过程。
- 问题：如果我面临一个非高斯分布的问题，我应该使用哪种滤波方法？
- 答案：对于非高斯分布的问题，您可能需要考虑粒子滤波或其他基于蒙特卡洛方法的技术，这些技术不依赖于具体的分布形式，而是使用样本来近似后验分布。
- 问题：线性化技术如何应用于卡尔曼滤波中处理非线性系统？
- 答案：对于非线性系统，扩展卡尔曼滤波（EKF）是一种常用的方法，它在每次迭代时对系统和观测函数进行线性化，从而适应传统的卡尔曼滤波框架。但需要注意，过度的非线性可能导致线性化误差增大。
- 问题：卡尔曼滤波是否是唯一的最优滤波方法？
- 答案：不是。卡尔曼滤波为线性高斯系统提供最优状态估计，但在非线性或非高斯环境中，其最优性可能不再成立。不同的滤波方法可能根据具体应用和系统特性在某些情境下更为优越。
